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焦點(diǎn)弦公式及其應(yīng)用
論文關(guān)鍵詞：焦點(diǎn)弦公式,應(yīng)用

　　在近年來的高考數(shù)學(xué)試題中，經(jīng)常出現(xiàn)圓錐曲線焦點(diǎn)弦問題．用常規(guī)方法解決這類問題時(shí)，由于解題過程復(fù)雜，運(yùn)算量較大，所以很容易出現(xiàn)差錯．

　　為了準(zhǔn)確而迅速地解決圓錐曲線焦點(diǎn)弦問題．我們可以利用下面介紹的焦點(diǎn)弦公式．

　　設(shè)圓錐曲線的離心率為，焦準(zhǔn)距為,過焦點(diǎn)的弦AB與主軸(即橢圓長軸、雙曲線實(shí)軸、拋物線對稱軸)的夾角為θ,則可以推導(dǎo)出弦AB的長度公式 ，簡稱焦點(diǎn)弦公式．特別當(dāng)離心率時(shí)，焦點(diǎn)弦公式還可以化簡．

　�。薄�當(dāng)時(shí),圓錐曲線為橢圓, ；

　�。�、當(dāng)時(shí)，圓錐曲線為拋物線, ．

　　

下面對焦點(diǎn)弦公式進(jìn)行證明．

　　證法一如圖1,設(shè)橢圓C:焦點(diǎn)為,過焦點(diǎn)F的弦AB的傾斜角為,當(dāng)時(shí),弦AB在直線 L:上．由直線L和橢圓C的方程可得

　　．

　　設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分為和，則．由焦半徑公式得弦AB的長度為

　　∵焦準(zhǔn)距為,∴．當(dāng)時(shí)，公式也成立．

　　對于雙曲線和拋物線用同樣的方法可以證明．

　　證法二設(shè)圓錐曲線的離心率為，焦準(zhǔn)距為，則極坐標(biāo)方程為，過焦點(diǎn)的弦AB與x軸的夾角為θ．當(dāng)時(shí)，如圖2．∵，．

　　∴

　　．即．

　　當(dāng)時(shí)，同理可以推得．

　　利用焦點(diǎn)弦公式，可以巧妙地解決與圓錐曲線焦點(diǎn)弦有關(guān)的各種問題．現(xiàn)在分別舉例如下．

　　一、在橢圓中的應(yīng)用

　　例1 （2008年高考安徽卷文科22題）

　　已知橢圓，其相應(yīng)于焦點(diǎn)F(2，0)的準(zhǔn)線方程為x=4．

　�。á瘢┣髾E圓C的方程；

　　（Ⅱ）已知過點(diǎn)F1(－2,0)傾斜角為的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn).，求證：

　�。á螅┻^點(diǎn)F1(-2,0)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于點(diǎn)A、B和D、E，求的最小值．

　　解：（Ⅰ）由已知得，又，所以．

　　故所求橢圓C的方程為．

　　（Ⅱ）因?yàn)橹本�AB傾斜角為， ，，，。

　　由焦點(diǎn)弦，可得=得證．

　　（Ⅲ）因?yàn)橹本�AB傾斜角為，則DE與軸的夾角可表示為。因而

　　，，

　　

　　。

　　當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“＝”．所以的最小值是．

　　二、在雙曲線中的應(yīng)用

　　例2(2006年高考安徽卷22題)如圖5，F(xiàn)為雙曲線C： 的右焦點(diǎn)、P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn),已知四邊形為平行四邊形，．

　�。á瘢�寫出雙曲線C的離心率與的關(guān)系式；

　�。á颍┊�(dāng)時(shí)，經(jīng)過焦點(diǎn)F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點(diǎn)，

　　若，求此時(shí)的雙曲線方程．

　　解:（Ⅰ）∵，，

　　

設(shè)右準(zhǔn)線交PM于H，則，

　　又,∴．

　�。á颍┊�(dāng)時(shí)，由得，即．由得，

　　由此得雙曲線為．

　　∵時(shí),, ,．

　　在中,．

　　P點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,．即．

　　令A(yù)B與的夾角為,由AB∥OP得,．

　　∵,∴,解得,即．

　　由，可以解得．故所求雙曲線的方程為 ．

　　三、在拋物線中的應(yīng)用

　　例3 (2006年高考全國Ⅱ卷第21題）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動點(diǎn)，且．過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為Ｍ．

　�。á瘢┳C明為定值；

　　（Ⅱ）設(shè)△ABM的面積為S，寫出的表達(dá)式，并求S的最小值．

　　解：（Ⅰ）可設(shè),,AB的傾斜角為,則AB的斜率．由知AB過焦點(diǎn)．所以AB的方程為．將此式代入 得．則．

　　∵,∴過A、B兩點(diǎn)的切線方程分為，．

　　由此解得:,．即點(diǎn)M為．

　　所以 , ．

　　∴為定值．

　　(Ⅱ)∵拋物線的焦準(zhǔn)距,過焦點(diǎn)F的弦AB與對稱軸夾角為．

　　∴．

　　又,由知．

　　∴△ABM的面積為．

　　當(dāng),即AB與軸平行時(shí),F點(diǎn)是AB的中點(diǎn),,△ABM的面積S有最小值4．

　　求的表達(dá)式的方法如下:∵,

　　∴．設(shè),則可以解得

　　．又，．

　　∴．

　　四、綜合應(yīng)用

　　(2009湖南卷理)（本小題滿分13分）

　　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，d恒等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與18之和 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

　　（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C；

　　（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F的直線I與軌跡C相交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN長度的最大值。

　　解（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則 ①

　　當(dāng)xkeyimg1662時(shí)，由①化簡得 w..u.c.o.m當(dāng)時(shí),由①化簡得 .

　　故點(diǎn)P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側(cè)部分與拋物線在直線x=2的左側(cè)部分（包括它與直線x=2的交點(diǎn)）所組成的曲線，參見圖1

　�。á颍┤鐖D2所示，易知直線x=2與，的交點(diǎn)都是A（2，），B（2，），直線AF，BF的斜率分別為=，=.

　　設(shè)直線l直線l與x軸的夾角時(shí)，或時(shí)，此時(shí)有 .因?yàn)?img onload="if(this.width>600) this.width=600" src="/images-w/news_dt/2016-04/20160407-3346-204847.gif" />，

　　所以.由焦點(diǎn)弦公式得

　　．

　　當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立。

　�。�2）當(dāng)時(shí)，可設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)上，

　　則由焦半徑公式得　.

　　設(shè)直線AF與橢圓的另一交點(diǎn)，則，．

　　

　　所以　。而點(diǎn)A，E都在上，且

　　 有（1）知

　　綜上所述，線段MN長度的最大值為

　　鞏固練習(xí)

　　1、設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F的弦為AB，中心為O．求面積的最大值．

　　2、過雙曲線的焦點(diǎn)作傾角為的弦AB．求AB的長．

　　3、（2009福建卷理）過拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的長為8，則________________

　　4、（2006年高考江西卷第21題）如圖6，橢圓Q：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F的一動直線繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動，并交橢圓與A、B兩點(diǎn)，P為線段的AB的中點(diǎn)．

　�、徘簏c(diǎn)P的軌跡H的方程;

　　⑵若在Q的方程中，令．確定的值，使原點(diǎn)距橢圓Q的右準(zhǔn)線最遠(yuǎn)．此時(shí)，設(shè)與軸交點(diǎn)為D，當(dāng)直線繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動到什么位置時(shí)，三角形ABD的面積最大？
參考答案
1、．（提示∵∴ ,．
則．
∴．)
2、．（提示 ，．．）
3、【答案】：2
（提示∴．∴）．
4、⑴．⑵．（提示∵,
∴．當(dāng)時(shí),原點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離取最大值2．此時(shí) ,,橢圓Q的方程為．
設(shè)線段AB與橢圓長軸的夾角為,由于,則
,點(diǎn)D到線段AB的距離為．．
當(dāng)且僅當(dāng),即軸時(shí),的最大值為）．