關(guān)于高三復(fù)習(xí)中如何引導(dǎo)學(xué)生進行解題反思的探討
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摘要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強“解題反思”的研究，有利于教師改進教學(xué)方法，增強教學(xué)的有效性，有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)中進行自我評價和自我調(diào)節(jié)，學(xué)會學(xué)習(xí)，從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量．本文從優(yōu)化解題方法，系統(tǒng)歸納題型，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)等方面介紹了如何在高三復(fù)習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生進行解題反思．使學(xué)生解題思路分析更加清晰，新舊題目更加連貫，從而使解題效率得以提高．
論文關(guān)鍵詞：解題,反思,系統(tǒng)歸納
“解題反思”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，也是新課標(biāo)的要求．反思是指對自身的思維過程、思維結(jié)果進行再認(rèn)識和檢驗的過程，是認(rèn)知過程中強化自我意識、進行自我監(jiān)控、自我調(diào)節(jié)的主要形式．荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出，“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力”．
聯(lián)系高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考的實際，無論是在第一輪知識方法系統(tǒng)的重新構(gòu)建，還是在第二輪的專題強化訓(xùn)練中，解題教學(xué)無疑占據(jù)著“半壁江山”．各種訓(xùn)練題、模擬題層出不窮，鋪天蓋地，甚至成為不少學(xué)生每天殫精竭慮、疲于奔命的主流生活，也成為一些教師手中提升學(xué)生應(yīng)考能力的法寶．但是“題海無邊，何處是岸？”，學(xué)生“題海掙扎”的結(jié)果又如何？面對一些學(xué)生一次次在同一個坎上跌倒，一次次在同一個“陷阱”里失足……難道不能引起教師的反思、深思？
下面我們從“試題解法優(yōu)化”這個角度闡述如何在高三復(fù)習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生進行解題反思．
一、認(rèn)真審題，針對不同的題型采取不同的解題方法
例1．（2007年天津文科卷第10題）設(shè)
是定義在
上的奇函數(shù)，且當(dāng)
時，
,若對任意的
,不等式
恒成立，則實數(shù)
的取值范圍是（）
A．
B．
C．
D．
【解法一】：作為一個壓軸的選擇題，我們該采取怎樣的解題方法呢？首先當(dāng)然針對選擇題的特點，通過對四個選項的觀察，能否對A,B,C,D四個選項中的某個特殊值進行代入驗證．對于A，B兩個選項，我們選擇
首先進行代入，則
，代入得恒成立，所以排除了B選項．對于A,C選項，我們令
，則
，不等式
不恒成立，所以排除C選項．對于A,D選項，我們選擇
代入，因為是定義在上的奇函數(shù)，則當(dāng)
時
．同樣不等式不恒成立．故答案選A．
作為考試，我們通過上述方法得到了正確得答案，那么在考試之后呢？我們反思：
�。�1）如果該題是個填空題，到底該如何解答？
�。�2）答案中的
又是怎么出來的呢？
該題的難點在于僅知道時的函數(shù)解析式，通過奇函數(shù)得到的函數(shù)解析式．但是當(dāng)時我們沒有辦法確定此時
的正負(fù)符號．有此產(chǎn)生以下解題方法二，對的范圍通過進行分類討論．
【解法二】：此題是一個不等式恒成立問題，結(jié)合函數(shù)得奇偶性，我們得到當(dāng)
時，；當(dāng)
時，．
討論：①當(dāng)
時，，所以
，即
恒成立，在
時，令
，只要
恒成立即可．解得
．
�、诋�(dāng)
時，，所以有
，即
，在時，令只要
恒成立即可．而
恒小于零，故無解．
�、郛�(dāng)
且
時，因為，又有如下討論：
�。á瘢┊�(dāng)時，易知
由該奇函數(shù)函數(shù)得單調(diào)性可知
，又因為
，所以
，得到
與題條件矛盾，故無解．
�。á颍┊�(dāng)時，
，則即上述②得討論，故無解．
綜上所述，得取值范圍為
．
二、審視解題過程，思考解題方法是否最佳
解法一比較適合選擇題的使用，但是就像剛才提到的，我們并沒有真正計算出的取值范圍．解法二詳細(xì)地求出了變量的取值范圍，但是作為一個選擇題，這種解題方法太過復(fù)雜，且分類討論難度過大．因此，解法二不適合考試時求解該題．因此，我們能否問問自己，這題就只有這些方法嗎？
進一步引導(dǎo)學(xué)生思考：可不可以換個角度另辟佳徑？在上述解題過程中提到一個重要得題目信息，就是該函數(shù)得單調(diào)性．由題可得在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，那么能否利用函數(shù)的單調(diào)性來解決問題呢？若是簡單的不等式
恒成立，則可由函數(shù)單調(diào)遞增的性質(zhì)得
，即得．這種解題思路對解決這個高考題能有什么幫助呢？我們怎么處理這道題中多出來得系數(shù)2呢？系數(shù)2能否去掉呢？
【解法三】：我們發(fā)現(xiàn)
，那么不等式恒成立，即
恒成立，只要求
恒成立．再轉(zhuǎn)化為恒成立問題的一般解法
．即求
這個一次函數(shù)在上的最大值
．得到
，即
，解得
．
到此，上述的一，三兩種方法都能很好的解決這樣一個高考選擇題，通過這樣的題后反思，使學(xué)生更能感受到數(shù)學(xué)的魅力，以及體會解題成功的那種成就感．
三、系統(tǒng)歸納數(shù)學(xué)方法，探求一般規(guī)律
即使數(shù)學(xué)題靈活多邊，方法千變?nèi)f化，然而也并非是神秘莫測，和解決千千萬萬的矛盾一樣，是有一定有規(guī)律可循的．必須系統(tǒng)總結(jié)，反復(fù)多練，才能以不變應(yīng)萬變．
如上例中的恒成立問題．我們在復(fù)習(xí)過程中曾做到過這樣的一個試題．
例2．已知定義域為
的函數(shù)
是奇函數(shù)．（1）求
的值；（2）若對任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范圍．
對于該題（2）的解題思路，和例1是一樣的．那么同學(xué)們在題后系統(tǒng)歸納解題方法時能否將兩道題進行歸類重組呢？不等式
，再利用（1）可以求得該函數(shù)是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減．則上式即為
，最后即求
恒成立．對于此類恒成立問題，仍然可以用分離變量的方法得到
，即
小于
在
上的最小值，解得
．同樣都是利用到函數(shù)本身所具有的單調(diào)性，不通過函數(shù)解析式的代換，而是直接通過自變量的大小的比較來直接求解．大大加快了解題速度，增加了解題的靈活性．
四、不斷積累解題經(jīng)驗，提高解題效率
解題方法、思路的積累，最后還是在于能否融會貫通解決新題，在平時的考試中，能否喚醒你解題的思路與靈感．在今年的期中考聯(lián)考卷中出現(xiàn)了這樣的一個題．
例3．（浙江省杭州地區(qū)2009-2010
學(xué)年第一學(xué)期高三年級七校期中聯(lián)考卷第21題）
已知向量
，
，滿足
(其中)．
�。�1）求函數(shù)
的解析式；
�。�2）若
，求函數(shù)在
上的最大值與最小值；
（3）對任意的
，是否存在實數(shù)使得
恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．
對于這道題的第三小題
參考答案是這樣給出的．
（3）解：對任意的，恒成立，即函數(shù)在
上的最大值小于5．而
①當(dāng)
時，
，函數(shù)在
上單調(diào)遞增，
，所以得
；
②當(dāng)
時，函數(shù)在
遞增，
遞減，
遞減，
遞增，所以
，解得；
③當(dāng)
時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，所以
．
綜上所述，取值范圍為
．
對于這個解法學(xué)生分類討論難度較大，且②中的3是怎么得來的呢？其實我們需要先對
的正負(fù)先進行一個判斷，得到兩個極值點．再對該極值點是否在中進行討論，得出在3這一點需要進行分類討論．但是，我們能用上面提到的恒成立的解題方法換個角度再來解決這個題目嗎？我們能否把平時積累的解題方法在解決新題時使用，并加快解題速度，優(yōu)化解題方法呢？在這道題的題后反思中，我們能不能減少討論，更快尋求的取值范圍呢？對此，我們嘗試對不等式先進行變量分離，再通過最值求解不等式恒成立問題．
【解法優(yōu)化】：對于
在上恒成立，即求
恒成立．
①當(dāng)
時，不等式恒成立．
②當(dāng)時，即求
恒成立，只需求大于
在
上的最大值，而
是一個在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的函數(shù)．所以
，所以
③當(dāng)時，即求
恒成立，只需求小于在
上的最小值，而此時
，則是一個在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減的函數(shù)．所以
，所以
．
綜上所述，取值范圍為．
上述兩種方法從兩個不同的角度解答了這個題目．但是在你腦海里是否能和平時的練習(xí)建立聯(lián)系，能否通過這兩個題的分析與反思豐富你的知識網(wǎng)絡(luò)．我們教師需要做的便是在平時的課堂中，試題講評的過程中，不斷引導(dǎo)學(xué)生進行題后反思，只有這樣不斷的產(chǎn)生解題思路的關(guān)聯(lián)，才能逐步的提高自己的解題水平．
在我們平時的教學(xué)過程中，只要我們留心，就能發(fā)現(xiàn)很多相類似的題型以及解題思路與方法．我們不要以一種“炒冷飯”的形式，機械化地“傳輸”給學(xué)生．而是通過認(rèn)真、仔細(xì)的題后反思與歸納總結(jié)，使學(xué)生的解題思路更加融會貫通．在反思過程中，可以引導(dǎo)學(xué)生不斷地總結(jié)解決問題的方法、技能以及經(jīng)驗教訓(xùn)．在“解題反思”的教學(xué)中，教師上課不再是“一言堂”，而常常讓學(xué)生參與，讓學(xué)生發(fā)表見解，因而學(xué)生的主體性得到很好的體現(xiàn)．教師在聆聽中，經(jīng)常得到啟迪，誘發(fā)教學(xué)反思，進而不斷改進教法，增強教學(xué)的有效性．同時引導(dǎo)學(xué)生真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想和方法，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高思維能力，從而更大地發(fā)揮和提高學(xué)生的智能和潛能．從而培養(yǎng)出一支真正會解題的學(xué)生隊伍．
