綜述從微觀到宏觀，從Boltzmann方程到流體力學(xué)方程
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論文導(dǎo)讀：現(xiàn)在，對流體力學(xué)的研究一般從宏觀，微觀，介觀三個層次。流體力學(xué)方程是從宏觀層次上得到的，流體被假設(shè)為連續(xù)介質(zhì)，流體運動滿足質(zhì)量守恒，動量守恒，能量守恒，并由Euler方程組Navier-Stokes方程組來描述，在數(shù)值計算中【1】，以非線性的微分方程為出發(fā)點，有有限差分法，有限容積法，有限元法，有限分析法，譜方法等，這類方法本質(zhì)上是一種自頂向下的方法，對微分方程進行離散，得到代數(shù)方程組或者常微分方程系統(tǒng)，再利用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)值方法求解。在微觀上，流體不再被假設(shè)為連續(xù)介質(zhì)，流體由大量的離散分子組成，分子受到相互間作用力和外加作用力的影響。在介觀上，流體被離散成一系列的流體粒子，通俗的說，這些粒子比分子的級別要打，但從宏觀上來說又無限小，其質(zhì)量比起有限容積法中的控制容積質(zhì)量要小得多，此時用數(shù)學(xué)的觀點來描述此流體就應(yīng)該Boltzmann方程。
關(guān)鍵詞：宏觀，微觀，介觀，Boltzmann方程，流體力學(xué)方程
流體力學(xué)時研究流體運動規(guī)律的一門學(xué)科，經(jīng)過多年的發(fā)展，已經(jīng)取得了豐碩的成果，但由于流體運動的復(fù)雜性，還有很多實際的問題沒有得到解決，在數(shù)學(xué)上，其復(fù)雜性反應(yīng)在描述其運動的上，除了一些簡單的情況，一般是很難得到這些方程的精確解的，因此，方程的求解問題也被美國CLAY數(shù)學(xué)促進會設(shè)立的7個100萬美元獎金的千年難題之一。
現(xiàn)在，對流體力學(xué)的研究一般從宏觀，微觀，介觀三個層次。論文發(fā)表。首先我們來介紹下這3個方面。
流體力學(xué)方程是從宏觀層次上得到的，流體被假設(shè)為連續(xù)介質(zhì)，流體運動滿足質(zhì)量守恒，動量守恒，能量守恒，并由Euler方程組Navier-Stokes方程組來描述，在數(shù)值計算中【1】，以非線性的微分方程為出發(fā)點，有有限差分法，有限容積法，有限元法，有限分析法，譜方法等，這類方法本質(zhì)上是一種自頂向下的方法，對微分方程進行離散，得到代數(shù)方程組或者常微分方程系統(tǒng)，再利用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)值方法求解。
在微觀上，流體不再被假設(shè)為連續(xù)介質(zhì)，流體由大量的離散分子組成，分子受到相互間作用力和外加作用力的影響。任何系統(tǒng)的宏觀特征和運動規(guī)律，再微觀上都表現(xiàn)為分子的無規(guī)則的熱運動。因而，一種最直接的想法就是通過模擬每一個分子的運動。再進行統(tǒng)計平均，已獲得流體運動的規(guī)律。這種方法稱為分子動力學(xué)模擬。由于這種方法主要是在計算機上實現(xiàn)的，所以在早期，受到計算機的限制，模擬的空間尺度和時間尺度都很有限。論文發(fā)表。但隨著近年計算機技術(shù)的高速發(fā)展，分子動力學(xué)模擬方法也得到了迅速的發(fā)展，已經(jīng)成為研究流體運動的一種重要的方法。發(fā)表論文。
在介觀上，流體被離散成一系列的流體粒子，通俗的說，這些粒子比分子的級別要打，但從宏觀上來說又無限小，其質(zhì)量比起有限容積法中的控制容積質(zhì)量要小得多，此時用數(shù)學(xué)的觀點來描述此流體就應(yīng)該Boltzmann 方程。
從以上的綜述可以看出，對于同一流體，從宏觀和介觀可以由不同的方程來描述，因此，從數(shù)學(xué)的觀點將其統(tǒng)一起來，就是非常必要的，下面，我們就從理論的角度，來證明，從介觀的Boltzmann 方程可以恢復(fù)到到宏觀的Navier-Stokes方程組。
首先我們簡單的介紹下Boltzmann 方程。發(fā)表論文。這個方程是由統(tǒng)計力學(xué)的創(chuàng)始人之一Boltzmann所建立的，用以描述非平衡態(tài)分布函數(shù)演化規(guī)律的方程，其具體形式如下，
（1）
其中，
稱為碰撞算子，它的形式由下式給出：
在
中的B稱為碰撞核，它僅依賴于粒子間的碰撞，從物理背景出發(fā)，我們總假設(shè)
僅依賴于
和
，這里我們不過多的牽涉到它的具體形式。
下面，我們就嚴(yán)格的推導(dǎo)，如何從Boltzmann 方程到大家所熟悉的Navier-Stokes方程組，首先引入下面一個引理：
引理【2】：對于
，
，始終有
成立。
注：該引理的證明科參考文獻[2],這里我們不給出嚴(yán)格的證明，我們將以上的
稱為守恒量。
下面我們給出本文主要結(jié)論，即從形式上出發(fā)，可以由Boltzmann 方程到Navier-Stokes方程【3】。
證明：首先在方程兩邊同時乘以
，并積分，利用引理，就可以得到下面的積分方程
(2)
如果我們定義
，
，就可以得到
，這就是大家所熟知的質(zhì)量守恒方程。
類似地，如果在方程（1）兩邊同時乘以
和
，并積分，再利用引理，
如果我們再定義
，
，
，
，就可以得到動量守恒方程和能量守恒方程。
，(3)
(4)
以上的方程(2),(3),(4)j就是流體力學(xué)方程組。
注：雖然我們根據(jù)這個定理從形式上得到了流體力學(xué)方程組。發(fā)表論文。但要真正發(fā)揮作用，還需要求得，，使其成為一個封閉的方程組，而嚴(yán)格求解Boltzmann 方程是很困難的，所以還有很多的問題沒有解決。論文發(fā)表。
對于宏觀和微觀的問題，近來成為大家研究的熱點，相信隨著研究的深入，很多問題都會被解決，也會給工程中帶來更多的應(yīng)用。
參考文獻：
【1】何雅玲，王勇，李慶，格子方法的理論及應(yīng)用，科學(xué)出版社。
【2】2008李大潛，秦鐵虎，物理學(xué)與偏微分方程，高等教育出版社，2005
【3】C.Cercignani，R.Illner,M.Pulvvirenti,稀薄氣體的數(shù)學(xué)理論，高等教育出版社，2009
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