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論文摘要：受曹廣福教授和Josepha.Cima教授的文章的啟發(fā)，研究多圓盤(pán)上Bergman空間中具有無(wú)界符號(hào)的Toeplitz算子的有界性、緊性。
論文關(guān)鍵詞：算子,無(wú)界函數(shù),空間
　　一、引言
　　記D是復(fù)平面內(nèi)的單位圓盤(pán)，T是單位圓周，對(duì)確定的正整數(shù)n，分別是n個(gè)D，T的笛卡爾積，不難證明是的Shilov邊界［8，9］，表示的拓?fù)溥吔纾�本文所涉及的邊界�?wèn)題只考慮Shilov邊界。表示Bergman空間，在上關(guān)于正規(guī)化的Lebesgue面積測(cè)度dA是平方可積的，且在上是解析的函數(shù)空間。對(duì)，用表示上以f為符號(hào)的Toeplitz算子，其定義如下：其中P表示上的正交投影，此算子是稠密定義的。在［1］中，曹廣福教授在單位球上構(gòu)造了一類無(wú)界函數(shù)，使以之為符號(hào)的Toeplitz算子是緊的，并且，構(gòu)造了在單位球的每個(gè)邊界點(diǎn)的任意領(lǐng)域上的無(wú)界函數(shù)，以其為符號(hào)的Toeplitz算子是trace類算子。在［2］中Axler刻畫(huà)了D上的有界符號(hào)誘導(dǎo)出Toeplitz算子在Bergman空間上何時(shí)是緊的。在［3］中，Grudsky和Vasilevski證明了以徑向函數(shù)為符號(hào)的Toeplitz算子在上是有界（或緊）的，當(dāng)且僅當(dāng)序列。在［5］中Josepha.Cima研究了在單位圓盤(pán)上Bergman空間中以無(wú)界函數(shù)為符號(hào)的Toeplitz算子的緊性問(wèn)題。
　　二、有界性
　　本部分在多圓盤(pán)上構(gòu)造滿足一定增長(zhǎng)條件的無(wú)界函數(shù).首先在的子域上構(gòu)造特定的類型使得這些無(wú)界函數(shù)在的正測(cè)度集上"膨脹"，但其相應(yīng)的Toeplitz算子仍是有界的，或緊的。設(shè)“錐點(diǎn)”域其中m,b的值視研究的具體情況而定。對(duì)上的任意點(diǎn)，設(shè)是在旋轉(zhuǎn)，再“膨脹”，使得對(duì)某個(gè)，滿足且.設(shè)序列恰好是某個(gè)Cantor集的頂點(diǎn)。首先在[0,1]區(qū)間構(gòu)造Cantor集，去掉中間長(zhǎng)度為的部分，在剩下的兩個(gè)不相交的區(qū)間中再分別去掉長(zhǎng)度為的中間部分，依次重復(fù)這個(gè)過(guò)程..此過(guò)程在[0,1]上產(chǎn)生一個(gè)緊的正測(cè)度集A，對(duì)A作n個(gè)笛卡爾積，設(shè)，通過(guò)函數(shù)，把M映射到，且是頂點(diǎn)的像.因此，每個(gè)在達(dá)到，且可選擇使得它們是不相交的。設(shè),考慮一個(gè)可測(cè)函數(shù)H(z)滿足其中0，使得對(duì)每個(gè)球（以為球心，r為半徑），及任意r值，有
　　。定義是的特征函數(shù)，顯然h在每個(gè)點(diǎn)趨向無(wú)窮大.又因?yàn)?img onload="if(this.width>600) this.width=600" src="/images-w/news_dt/2016-04/20160407-3940-205152.gif">中的Cantor集的其它點(diǎn)是頂點(diǎn)的極限點(diǎn)，所以h在的Cantor集的其它點(diǎn)也趨向無(wú)窮大.因此，得出結(jié)論：在的正測(cè)集上，h為無(wú)窮大.易證當(dāng)時(shí)，選擇適當(dāng)?shù)腷與，可使下面討論Toeplitz算子的有界性。
　　定理1.1:設(shè)H(z)是上具有增長(zhǎng)速度為的可測(cè)函數(shù)，其中0，對(duì)上的任意Cantor集,其頂點(diǎn)，存在與不相交集，為集合
　　在旋轉(zhuǎn)而得，且有限，使得若，則符號(hào)誘導(dǎo)上的一個(gè)有界Toeplitz算子。特別地，當(dāng)取b=2c+5,時(shí)，結(jié)論成立.
　　證明：對(duì)，
　　對(duì)每個(gè)i,
　　
　　若對(duì)某一滿足b-2c-3>0的常數(shù)c,則
　　
　　取b=2c+5,上式級(jí)數(shù)收斂，所以在上有界。.因此，即使符號(hào)在的正測(cè)度集上趨于無(wú)窮，仍可以得到有界的Toeplitz算子。
　　三、緊性
　　定理1.2:設(shè)h與如定理1.1中所設(shè)，則選取合適的b與值時(shí)，可使為上的緊算子。
　　證明:選取序列滿足且在的緊子集上一致收斂到0，我們將證明，當(dāng)時(shí)，。再選取序列使得設(shè)，選定J，則可找到正整數(shù)N使得對(duì)任意，且對(duì)，有.考察
　　現(xiàn)估算與，對(duì)任意n>N，
　　
　　對(duì),運(yùn)用Cachy-Schwarz不等式，則
　　
　　若取b=2c+4，則由已知假設(shè)得右邊的級(jí)數(shù)收斂，的和小于的常數(shù)倍。
　　所以，當(dāng)時(shí)，故是緊的。
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