“握手問題”的運用研究
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淺談“握手問題”的運用
論文關(guān)鍵詞：“握手問題”,運用
問題 1 某班共有n名學生，在元旦班級聯(lián)歡晚會上兩兩握手致意，那么他們共握手多少次？
對這個問題，我們可以作這樣的假設(shè)：第1個學生分別與其他(n-1)個學生握手，可握(n-1)次手；第2個學生也分別與其他(n-1)個學生握手，可握(n-1)次手;一依此類推，第n個學生與其他(n-1)個學生握手，可握(n-1)次手，如此共有n×(n-1)次握手，顯然此時每兩人之間都握了兩次手進行計算的.因此，按照題意，n個人每兩人之間握一次手共握了 
次手.這樣解決問題，我們不妨稱它為“握手問題”.
“握手問題”在數(shù)學上的應(yīng)用�，F(xiàn)舉幾例如下：
例1 已知1條直線上共有6個點，那么這條直線上共有幾條線段？
分析 將6個點看作是6名學生，每兩點構(gòu)成一條線段，就好比是2個學生握手.而6個學生兩兩握手時.按照“握手問題”，共握了 
次手，從而直線上5個點共構(gòu)成15條線段.
例2 經(jīng)過同一個端點的10條射線，這10條射線可以組成幾個角？
分析 經(jīng)過同一個端點的10條射線就好像10個學生,每2射線可以組成一個角，就好像是2個學生握1次手，其中n=10，按照“握手問題”，共可畫 
條直線.
例3 一個n邊形，共有多少條對角線？n邊形的所有對角線與它的各邊共形成多少個三角形？
分析：從n邊形的一個頂點出發(fā)有
條對角線，n個頂點共有
條對角線，但有重復的情況，故有
條對角線；n邊形的所有對角線與它的各邊共有
條線段，任意一條線段與另外
個頂點形成個三角形，
條線段形成
個三角形，但對于一個
來說，重復算了三次，故共形成
個三角形
問題2 某班同學畢業(yè)時都將自己的照片向全班其它同學各送一張表示留念，全班共有n個人，那么全班一共送了多少張照片？
分析：送照片的時候，你送我一張，我也要送你一張。一個人送
張，n個人既全班送
張。這類問題有握手問題相似，但它不需要除以2。
下面幾個例子，在使用握手問題是不用除2.
例4某列火車在甲、乙兩城市間來回行駛，除甲、乙兩城市外，中間還�？�7個站點，那么該列火車共需準備多少種票價？多少種車票？
分析 該題中，火車從A站點到B站點的車票與從B站點到A站點的票價是不一樣的，所以按照“握手問題”考慮問題時，不需要除2，，火車在甲、乙兩城市間來回行駛共有9個站。則共需準備
種車票.
例5 實驗中學初一（1）班學生臨時元旦，每人都互送明信片一張，現(xiàn)已知該班有60名同學，那么共需多少張明信片？
分析 該問題中，甲同學送給乙同學的明信片與乙同學送給甲同學的明信片不一樣，因此按照“握手解法”考慮問題時，不需除以2，即該班共需60×59=3540張明信片.
問題3 甲、乙兩個籃球隊比賽結(jié)束后，與對方互相握手，以示友好，已知每個球隊有5個隊員，則他們共可握多少次手？
分析 甲球隊的每個隊員分別與乙球隊的5個隊員握手，可握5次手，而甲球隊有5個隊員，所以共握5×5=25次手.
引申： 如果甲球隊有m個隊員，乙球隊有n個隊員，則可握mn次手，像這樣解決問題的方法，我們也稱它為“握手問題”.
例6 已知由邊長為1的正方形拼成如圖所示的長方形ABCD，圖中共有（1） 多少個矩形？ （2）圖中有幾個正方形？ A D
B C
分析（1）圖1中AD上有5個點，可得AD上有 
個線段；AB上有4個點， 可得AB上有
=6個線段.而AD上的任一 條線段與線段AB上任一線段“握手”，都會構(gòu)成一個距形，所以圖中
中共有mn =10×6=60個矩形.
(2)AD上線段與AB上線段“握手”時構(gòu)成正方形，就要求“握手”的兩條線段必須相等。如下表
線段 線段長度度
AB上條數(shù)
AD上條數(shù)
正方形個數(shù)
1
3
4
4×3=12
2
2
3
333 3×2=6
3
1
22
2 2×1=2
由表中可得“握手”12+6+2=20次，即圖中共有20個正方形，
上面三種類型的題型，我們在具體應(yīng)用的時候要認真分析題目，正確的選擇握手解法。
