不同機制條件下的煤層瓦斯流動方程研究
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王洪磊，王登科，姚邦華
（1．河南理工大學河南省瓦斯地質(zhì)與瓦斯治理重點實驗室一省部共建國家重點實驗窒培育基地，河南焦作454000；2．河南理工大學安全科學與工程學院，河南焦作454000；3．煤炭安全生產(chǎn)河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，河南焦作454000）
摘要：氣體流動可分為連續(xù)流、滑流、過渡流、自由分子流，為研究不同流動機制下的煤層瓦斯流動規(guī)律，在充分考慮了不同擴散機制和滑移邊界條件后，建立了適用于不同流動機制的煤層瓦斯流動方程，深入分析了視滲透率和達西滲透率的比值隨Knudsen數(shù)的變化關(guān)系。研究結(jié)果表明：所提出的煤層瓦斯流動方程能準確描述包括達西流、滑流、自由分子流、過渡流在內(nèi)的氣體流動行為。瓦斯氣體在煤層孔隙、裂隙中流動過程中濃度擴散和粘性流同時存在，當Kn<0. 01時，粘性流起主導作用，瓦斯流動滿足滲流方程；當Kn,> 10時，濃度擴散起主導作用，瓦斯流動符合擴散方程；在Kn,的其他范圍內(nèi)，煤層孔隙裂隙中瓦斯流動以滑流、過渡流為主，在對之進行評價時應同時考慮擴散項和滲流項。研究結(jié)果可為揭示煤層瓦斯流動機理、提高煤層瓦斯抽采率和煤層氣的產(chǎn)量預測準確度提供新方法和新途徑。
關(guān)鍵詞：煤層瓦斯；瓦斯擴散；瓦斯?jié)B流；Knudsen數(shù)；流動機制
0 引言
煤層瓦斯流動不僅對煤層氣開采和煤層瓦斯抽采有著重要的影響，而且與我國煤礦安全生產(chǎn)和煤礦瓦斯災害防治息息相關(guān)，所以系統(tǒng)深入研究煤層瓦斯流動規(guī)律對煤層氣開發(fā)、煤礦瓦斯災害治理具有重要意義。氣體流動機制有連續(xù)流、滑流、過渡流、自由分子流，不同的流動機制對應不同的流動方程，深部煤巖一般滲透性較差，內(nèi)部納米級微孔充分發(fā)育，氣體分子在納米級孔隙中流動存在多種流動機制。一般認為，瓦斯在煤層微孔中流動是符合擴散定律，孔徑較大時瓦斯流動符合達西定律。大量的實驗研究結(jié)果表明，較低氣體壓力條件下低滲煤巖滲透率隨壓力升高而減小，達西定律并不適用于煤層瓦斯流動。Klinkenberg研究認為，當多孔介質(zhì)的孔隙尺寸與分子自由程相當時處于管壁處的分子也會具有一定的速度，這樣就多出了一個附加流量，這種現(xiàn)象被稱為滑脫效應，也被稱為Klinken-berg效應。Wang Dengke等提供了一種考慮壓縮因子的煤層真實氣體滑移流動公式，認為滑移邊界條件在計算煤層瓦斯流動時不能忽略。
國內(nèi)外眾多學者對適用于不同流動機制的流動方程進行了研究。Beskok等通過對廣義的Hagen - Poi-seuille方程修正給出了一種變量包含Kn,數(shù)的具有嚴格推導過程的微孔氣體流動方程，該方程具有二階精度滑移邊界條件，從連續(xù)流到自由分子流都適用，并使用DSMC、LBM和實驗數(shù)據(jù)對方程進行了驗證。Ziarani等在Beskok的工作基礎(chǔ)上提出了帶Knudsen修正系數(shù)的多孔介質(zhì)滲流方程，認為在過渡流和自由分子流時使用該方程比使用Klinkenberg系數(shù)的精度更高。Civan對比分析了Beskok方程和Klinkenberg方程，對公式中系數(shù)進行修正，使計算模型與實驗數(shù)據(jù)擬合度更高。
Javadpour提出的考慮努森擴散和滑移邊界條件的多孔介質(zhì)滲流方程已被廣泛應用于頁巖氣流動研究。努森擴散適用于分子平均自由程遠大于孔隙直徑的情況，當分子平均自由程小于孔隙直徑的時候擴散并不符合努森擴散定律。
本文在前人研究的基礎(chǔ)上，通過分析分子運動，得到了更符合實際的滑移邊界條件，充分考慮不同擴散機制和新的滑移邊界條件后建立適用于不同流動機制的煤層瓦斯流動方程。分析了模型的視滲透率與達西滲透率比值隨Knudsen數(shù)的變化關(guān)系，并通過實驗的方法驗證了新方程在過渡流領(lǐng)域的適用性。本文研究結(jié)果為清楚揭示煤層瓦斯流動機理提供理論支撐。
1 Knudsen數(shù)和流體流動機制
1.1Knudsen數(shù)
Knudsen數(shù)是定義為分子平均自由程A（一個分子在兩次碰撞間走過距離的平均值）與流動特征長度L之比的一個無量綱參數(shù)，在致密的多孔介質(zhì)，流動特征長度L等于孔隙半徑r，煤層中瓦斯流動Kn,定義為：
式中：u為氣體粘度，Pa．s；p為氣體壓力，Pa；r為孔隙半徑，m；R為氣體常數(shù)，J/( mol．K)；M為摩爾分子質(zhì)量，kg/mol；r為溫度，K。
1.2氣體流動機制
多孔介質(zhì)中氣體流動根據(jù)Kn,數(shù)可以分為四種流動機制：
- 續(xù)流（粘性流），當Kn<0.01時，氣體流動滿足連續(xù)介質(zhì)假設，管壁表面氣體分宏觀速度，無滑移條件的流體動力學方程（N-S方程）能夠描述這類氣體流動。氣體在多孔介質(zhì)中流動符合達西定律：
式中：u。為壓力梯度作用下無滑移邊界滲流速度，m/s；k。為達西滲透率，m2。k。滿足方程：
式中：r為多孔介質(zhì)等效管束半徑，m；中為多孔介質(zhì)孔隙率。
②滑流，當0. 01<Kn,<0.1時，處于管壁表面的分子也會具有一定的速度，即在壁面產(chǎn)生滑移。N-S方程仍然有效，但要使用滑移邊界條件。描述氣體在多孔介質(zhì)中流動需使用Klinkenberg方程。
式中：c為接近于1的常數(shù)。結(jié)合式(1)、(2)、(3)，根據(jù)式(4)可得Klinkenberg方程等效滲透率與達西滲透率比值K。：
③過渡流，當0.1< Kn,<10時氣體變得稀薄，連續(xù)性假設不再成立，N-S方程不再成立。分析氣體流動應當使用較為復雜的Burnett方程。
④自由分子流，當Kn,>10時，氣體變得更加稀薄，氣體分子與壁面的碰撞占主導地位。分析氣體在多孔介質(zhì)中流動可以使用Knudsen擴散方程：
瓦斯氣體滿足理想氣體狀態(tài)方程，則
將式(6)代入式(7)并結(jié)合式(l)、(2)、(3)，可得Knudsen擴散方程等效滲透率與達西滲透率比值Kp:
不同Knudsen數(shù)條件下各流動機制以及對應的方程如圖1所示。
2數(shù)學模型
動量傳遞是在垂直于實際流體流動方向，動量由高速區(qū)向低速區(qū)轉(zhuǎn)移的過程；質(zhì)量傳遞是物系中一個或幾個組分由高濃度區(qū)向低濃度區(qū)轉(zhuǎn)移的過程。納米孔兩端存在壓力差，一方面流體在壓力梯度作用下氣體動量增加會產(chǎn)生一個宏觀速度，滿足動量傳遞定律（即在壓力梯度作用下氣體發(fā)生粘性流動）；另一方面氣體是可壓縮流體，在較高的壓力梯度作用下納米管兩端將存在一個濃度梯度，在濃度梯度作用下氣體分子通過擴散傳質(zhì)，滿足擴散定律。多孔介質(zhì)氣體流動分為壓力梯度作用下的滲流和濃度梯度作用下的擴散兩部分，只有同時考慮濃度擴散和粘性流動才能夠準確地描述氣體在多孔介質(zhì)中的流動規(guī)律。通過納米孔的總通量由壓力梯度作用下的粘性流通量和濃度梯度作用下的擴散通量兩部分組成：
式中：v，為視質(zhì)量通量，kg/( m2．s)；VA為壓力梯度作用下粘性流質(zhì)量通量，kg/( m2．s)；”。為濃度梯度作用下擴散質(zhì)量通量，kg/( m2．s)。
2.1 粘性流動
氣體在圓管內(nèi)流動時，孔壁表面附近的氣體分子具有一定的速度，這樣實際的通過孔隙的流體量要比Poi-seuille方程的計算值要稍大。若在靠近孔壁的小于氣體平均自由程A區(qū)域內(nèi)的氣體分子不與其他氣體分子發(fā)生碰撞，則分子其最后一次碰撞處的速度指向孔壁。假設孔隙壁表面氣體層擁有速度w。，則垂直壁面f處的速度w，滿足：
式中，2為孔壁碰撞的分子上一次碰撞處距孔壁距離，Klinkenberg認為f- cA，c可以理解為分子間的碰撞次數(shù)與總碰撞次數(shù)之比，是一個接近于1的一個常數(shù)。一般認為，Klinkenberg方程適用于Kn數(shù)小于0.1的條件，即r。> 10A，此時分子平均自由程遠小于孔隙半徑，分子與分子間碰撞的概率遠大于分子與孔壁的碰撞，則與孔壁碰撞的分子在上一次碰撞后走過的距離可近似為分子平均自由程A。當Kn數(shù)較大（即分子平均自由程遠大于孔隙半徑），分子間的碰撞概率遠小于分子與孔壁之間的碰撞，與孔壁碰撞的分子上一次碰撞有可能是與孔壁的碰撞，這樣在兩次碰撞之間分子經(jīng)過的距離將小于分子平均自由程A，可用分子平均自由程和孔徑來表征孔壁碰撞的分子上一次碰撞處距孔壁距離l：
式中：r。為圓管半徑，m。由式(10)可知，當Kn數(shù)小于0.1時，Klinkenberge方程中c滿足0.91 <c<1。
氣流分子在物體表面的反射與光滑彈性球在光滑完全彈性表面上的反射相同（即氣流分子與物體表面發(fā)生碰撞后，只在法向方向改變速度，其余方向的速度分量不變），這樣以來氣體反射流與入射流產(chǎn)生的正壓力大小相同，方向相反，總剪應力為零，碰撞過程無能量損失，此種情形為純鏡面反射。如果氣體分子在碰撞后離開壁面時以M axwll分布散射出去的話，將會損失部分能量，氣體分子在水平方向的速度將會變?yōu)樵瓉淼囊话�，此種情形為完全漫射。
分子在表面反射的實驗中表明，純鏡面反射模型或者完全漫反射模型不能很好地描述分子在表面散射的真實情況。M axwell提出一個由兩種反射組合而成的模型。假設氣體分子的a部分完全漫射，而其余（1-a）部分完全鏡面反射，這一散射模型稱為M axwell散射模型。根據(jù)M axwell散射模型可得孔壁表面速度w。滿足：
2.2擴散
擴散是在濃度梯度條件下氣體分子的不規(guī)則熱運動的結(jié)果，依據(jù)Kn,數(shù)可將擴散機制分為普通擴散、努森擴散和過渡擴散。當Kn數(shù)較小時，孔隙直徑遠大于分子平均自由程，分子間碰撞幾率遠大于分子與壁面的碰撞，稱之為普通擴散；當Kn,數(shù)較大時，孔隙直徑小于分子平均自由程，分子間的碰撞幾率變小，在濃度梯度驅(qū)使下氣體分子和壁面碰撞發(fā)生漫射而形成宏觀流動，此時擴散通量滿足努森擴散定律，稱為努森擴散；分子平均自由程和孔隙直徑相當時，分子間的碰撞和分子與孔壁間的碰撞同等重要時稱為過渡擴散。
煤層瓦斯在濃度梯度作用下視擴散通量為：
3模型驗證
3.1 連續(xù)流、滑流、自由分子流的驗證
利用式(5)、式(8)以及式(21)來分析瓦斯壓力為0.1 MPa．溫度為300 K，a取0.8條件下本文模型、Klinkenberg模型以及擴散模型的視滲透率和達西滲透率比值(K。)隨Kn,變化規(guī)律。根據(jù)計算結(jié)果，K，的值隨Kn,的增大而迅速增大，可將K。和Kn的變化關(guān)系劃分為4個基本階段（圖2）：①當Kn,<0.01時，瓦斯流動過程中粘性流占主導地位，使用本文模型、Klinkenberg方程計算所得K。很接近于1，表明瓦斯在煤層中流動屬于連續(xù)流滿足達西定律。②當0. 01<Kn,<0.1時，瓦斯流動屬于滑流，本文模型與Klinkenberg方程計算所得的K。值大小相當，表明瓦斯在煤層中流動滿足帶滑移邊界條件的達西定律。③當0.1< Kn,< 10時，瓦斯在煤層中流動屬于過渡流，瓦斯氣體流動連續(xù)性的假設不再成立，煤層瓦斯流動過程中粘性流動項和擴散項都占有較大比重，兩者需同時考慮。④當Kn,> 10時，瓦斯流動過程中擴散占主導地位，本文模型計算結(jié)果與自由分子流模型結(jié)果吻合，煤層瓦斯流動滿足擴散定律。
本文模型在連續(xù)流、滑流以及自由分子流范圍內(nèi)分別與Darcy方程、Klinkenberg方程、努森擴散方程計算結(jié)果吻合。瓦斯氣體在煤層孔隙、裂隙中流動過程中濃度擴散和粘性流同時存在，孔徑不同二者所占比例不同。在孔徑很大的情況下濃度擴散所占比重非常小，粘性流起主導作用，瓦斯流動符合滲流方程；孔徑非常小時，濃度擴散起主導作用，瓦斯流動符合擴散方程。煤巖中孔隙以孔徑為1um至10 nm的小孔和微孔為主，由圖3可知，在小孔、微孔中瓦斯流動為滑流和過渡流，應同時考慮擴散和滲流，能否準確描述過渡流領(lǐng)域流動判斷是瓦斯流動方程好壞的重要標準之一。
3.2 過渡流的驗證
Roy等進行了氬氣通過孔隙薄膜的實驗，所使用的材料為工業(yè)陽極氧化鋁微濾膜，薄膜孔隙直徑約為200 nm，厚60 ym。出口壓力控制為4.8 kPa保持不變，入口壓力變化范圍為9.8~ 110 kPa，則入口Kn數(shù)變化范圍為0.7~7.6，所以實驗中氣體流動屬于過渡流。利用Roy等實驗結(jié)果對模型在過渡流領(lǐng)域的應用進行驗證。
使用式(19)計算出各壓力梯度下孔內(nèi)氣體質(zhì)量通量理論值，具體計算參數(shù)見表1。對比結(jié)果顯示，理論結(jié)果與實驗結(jié)果的平均誤差3. 2%，相關(guān)性系數(shù)為0.999 4（圖3），可見本文提出的考慮不同擴散機制的瓦斯氣體流動模型是合理的、準確的。
4 結(jié)束語
本文基于分子運動學所提出的煤層瓦斯流動方程能夠準確反映包括達西流、滑流、自由分子流、過渡流在內(nèi)的氣體流動規(guī)律，表明本文方程能準確描述不同機制控制下的煤層瓦斯流動行為，研究成果可為研究煤層瓦斯流動提供理論支撐，為提高煤層瓦斯抽采率和煤層氣的產(chǎn)量預測準確度提供新方法和新途徑。
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