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論文導(dǎo)讀：時(shí)間分割是基于二次插補(bǔ)的思想提出來(lái)的，其插補(bǔ)、控制功能以定時(shí)中斷方式進(jìn)行，在每一個(gè)插補(bǔ)周期T內(nèi)產(chǎn)生一次定時(shí)中斷，CPU響應(yīng)中斷后進(jìn)行一次插補(bǔ)處理。次擺線(xiàn)的插補(bǔ)流程圖如下圖所示。本文所提出的次擺線(xiàn)插補(bǔ)算法已用C語(yǔ)言編制程序在微機(jī)上進(jìn)行了插補(bǔ)仿真，證明了該算法的正確性和有效性。
關(guān)鍵詞：次擺線(xiàn)，時(shí)間分割，插補(bǔ)算法

　　1 　前　言
　　目前數(shù)控加工非圓曲線(xiàn)不可避免地引入了較大編程誤差[1],為了提高非圓曲線(xiàn)的加工效率和加工精度,十分必要消除直線(xiàn)、圓弧逼近誤差,常采用的解決辦法是提高插值和擬合數(shù)值解的精度,但是無(wú)法避免大量繁瑣的數(shù)值處理,且逼近誤差消除難以徹底。為此,本文建立了一種次擺線(xiàn)插補(bǔ)算法，不但數(shù)控編程簡(jiǎn)捷而且內(nèi)、外擺線(xiàn)復(fù)雜輪廓的加工精度可大大提高。
　　2 插補(bǔ)原理
　　2．l 插補(bǔ)算法
　　時(shí)間分割[2][3]次擺線(xiàn)插補(bǔ)的基本思想是在滿(mǎn)足精度的前提下，用一段段等弦去逼近實(shí)際次擺線(xiàn)。插補(bǔ)計(jì)算就是在已知進(jìn)給速度F的條件下，在次擺線(xiàn)上計(jì)算出若干個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)，并使每一個(gè)插補(bǔ)周期T 的合成進(jìn)給滿(mǎn)足下式：
　　f=FT(1)
　　實(shí)質(zhì)上就是求出在每個(gè)插補(bǔ)段周期T內(nèi)， x軸和y軸的進(jìn)給量△x和△y，以控制x軸、y軸電機(jī)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，形成所需軌跡。而我們知道次擺線(xiàn)[4]的定義為:當(dāng)一半徑為b 的動(dòng)圓沿一半徑為a 的定導(dǎo)圓作純滾動(dòng)時(shí),與動(dòng)圓圓心相距為的一固定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡統(tǒng)稱(chēng)作(內(nèi)、外) 次擺線(xiàn)。其中動(dòng)圓在定圓外滾動(dòng)時(shí)稱(chēng)為外次擺線(xiàn),動(dòng)圓在定圓內(nèi)滾動(dòng)時(shí)稱(chēng)為內(nèi)次擺線(xiàn)。
　　次擺線(xiàn)軌跡參數(shù)方程:
　　（2）
　　式中＝h*b；h為幅值系數(shù)且>0，b可為正負(fù)值，b為正值時(shí)是外次擺線(xiàn)，為負(fù)值時(shí)是內(nèi)次擺線(xiàn)。
　　在（2）式中，我們引入兩組參數(shù)量和，并令:
　　,,
　　,(3)
　　即
　　是滿(mǎn)足于圓的方程的解,
　　是滿(mǎn)足于圓的方程的解。
　　于是得次擺線(xiàn)參數(shù)化方程為:
　　（4）
　　若B點(diǎn)是繼A點(diǎn)后的插補(bǔ)瞬時(shí)點(diǎn)，坐標(biāo)分別為A()，B,弦AB就是次擺線(xiàn)插補(bǔ)時(shí)每周期的進(jìn)給步長(zhǎng)f，其所對(duì)應(yīng)的參數(shù)增量為△ti,有：
　　△ti=－ti(5)
　　式中ti-1，ti分別為點(diǎn)A、B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值。
　　由次擺線(xiàn)的參數(shù)化方程可得次擺線(xiàn)每進(jìn)給一步的位移增量公式:
　　（6）
　　（7）
　　由（3）式，我們有
　　，
　　，
　　將(6)和（7）代入下式：
　　
　　
　　
　　（8）
　　上式是一個(gè)超越方程直接求解△ti非常困難，考慮到插補(bǔ)步長(zhǎng)f很小，所對(duì)應(yīng)的參數(shù)增量△ti也很小，為了提高算法的實(shí)時(shí)性，對(duì)三角函數(shù)、、、、、分別取Taylor 級(jí)數(shù)的二階近似,再求，即得:
　　對(duì)于起始點(diǎn)：，，，，，，有
　　=(9)
　　于是：
　　
　　新的插補(bǔ)點(diǎn)的坐標(biāo)為：
　　
　　（10）
　　
　　
　　(11)
　　而上兩式中有：
　　
　　（12）
　　且令,,,
　　則（10）、（11）式可以改寫(xiě)為,
　　
　　
（13）
　　
　　此時(shí)問(wèn)題的關(guān)鍵就是計(jì)算出，，，，如果直接按三角函數(shù)計(jì)算，會(huì)耗費(fèi)CPU寶貴的時(shí)間。因此，為了減少計(jì)算時(shí)間，可采用近似計(jì)算來(lái)求出。
　　我們知道當(dāng)很小時(shí)，，令2＝，根據(jù)三角函數(shù)公式可知：
　　
　　（14）
　　，的值只是將上式中的用代替即可得到。
　　2．2 終點(diǎn)判別
　　次擺線(xiàn)的插補(bǔ)的終點(diǎn)判別非常簡(jiǎn)便。設(shè)次擺線(xiàn)加工終點(diǎn)為，其所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，其插補(bǔ)終點(diǎn)的判別條件為：
　　
　　在實(shí)際插補(bǔ)過(guò)程中，很難保證所求的最后一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)與曲線(xiàn)實(shí)際終點(diǎn)完全重合，為此，可作如下處理：
　　當(dāng)時(shí)，下一插補(bǔ)點(diǎn)即為終點(diǎn)。
　　2.3插補(bǔ)流程圖
　　時(shí)間分割是基于二次插補(bǔ)的思想提出來(lái)的，其插補(bǔ)、控制功能以定時(shí)中斷方式進(jìn)行，在每一個(gè)插補(bǔ)周期T內(nèi)產(chǎn)生一次定時(shí)中斷，CPU響應(yīng)中斷后進(jìn)行一次插補(bǔ)處理。次擺線(xiàn)的插補(bǔ)流程圖如下圖所示。
　　

　　N
　　
　　Y
　　

　　3插補(bǔ)誤差分析
　　時(shí)間分割法次擺線(xiàn)插補(bǔ)的實(shí)質(zhì)是用弦長(zhǎng)來(lái)逼近弧，這必然會(huì)產(chǎn)生弦高的誤差。計(jì)算插補(bǔ)點(diǎn)時(shí)時(shí)，為了減少計(jì)算機(jī)的計(jì)算時(shí)間，，，，采用了近似計(jì)算公式，這有可能會(huì)使偏離次擺線(xiàn)，產(chǎn)生徑向誤差，在由（6）式的超越方程求解時(shí)，也采用了近似計(jì)算，求解的也就存在誤差，但不會(huì)對(duì)徑向誤差產(chǎn)生影響，徑向誤差完全由，，，的計(jì)算所確定；的誤差只會(huì)影響到每次插補(bǔ)的進(jìn)給步長(zhǎng)，引起插補(bǔ)進(jìn)給速度的變化，這個(gè)變化也是很小的；而由此引起的弦高誤差的變化就更小。
　　3.1弦高誤差
　　次擺線(xiàn)插補(bǔ)是用弦來(lái)代替弧，因而存在弦高誤差。當(dāng)進(jìn)給步長(zhǎng)f一定時(shí)，曲率半徑最小處的弦高誤差最大。對(duì)于本文這種情況，不用計(jì)算我們都可以知道在t＝0的附近弦高誤差最大，設(shè)其為，由前面的分析可以知道，第一插補(bǔ)點(diǎn)P1的參數(shù)為：＝ ，設(shè)其弦方程為：，則與弦平行的次擺線(xiàn)的切線(xiàn)方程為：（15）
　　將代入次擺線(xiàn)方程，可求得P1的坐標(biāo)，代入上面的弦線(xiàn)方程，可求得＝。
　　次擺線(xiàn)上任意一點(diǎn)的斜率為：
　　＝
　　令：
　　＝
　　可得切線(xiàn)與擺線(xiàn)的切點(diǎn)的參數(shù)t，可以看出切點(diǎn)處的t只與、兩圓半徑、和偏心距有關(guān)，將其代入（2）式，可得此時(shí)的x、y坐標(biāo)值，將x、y代入方程（15），就得出了最大弦高誤差得＝。我們可以看出是一個(gè)與進(jìn)給步長(zhǎng)相關(guān)的，根據(jù)允許的最大弦高誤差和次擺線(xiàn)方程，我們就可以控制進(jìn)給步長(zhǎng)。
　　3.2徑向誤差
　　由插補(bǔ)點(diǎn)計(jì)算過(guò)程我們可以知道，因?yàn)楸舅惴ㄖ幸�入了公式�?4），保證了插補(bǔ)點(diǎn)都落在了次擺線(xiàn)上，即插補(bǔ)點(diǎn)徑向誤差為0。，，，的近似計(jì)算只會(huì)引起f的微小變化。論文參考網(wǎng)。
　　4 插補(bǔ)仿真
　　本文所提出的次擺線(xiàn)插補(bǔ)算法已用C語(yǔ)言編制程序在微機(jī)上進(jìn)行了插補(bǔ)仿真，證明了該算法的正確性和有效性。且插補(bǔ)步長(zhǎng)變化不大，可認(rèn)為該算法的插補(bǔ)進(jìn)給速度是均勻的。
　　在插補(bǔ)仿真中測(cè)得該算法每次插補(bǔ)僅耗時(shí)0.041ms，相對(duì)插補(bǔ)周期8ms或4ms來(lái)說(shuō)是一個(gè)很短的時(shí)間，完全可以滿(mǎn)足高性能數(shù)控系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性要求。而且，計(jì)算機(jī)的處理速度正在快速提高，插補(bǔ)程序的時(shí)間還會(huì)進(jìn)一步縮短，對(duì)一般的復(fù)雜曲線(xiàn)來(lái)說(shuō)，完全可以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)性插補(bǔ)。論文參考網(wǎng)。論文參考網(wǎng)。
　　5 結(jié)束語(yǔ)
　�。�1）本文所提出的次擺線(xiàn)插補(bǔ)算法具有二階近似精度，插補(bǔ)誤差小。
　　（2）將三角函數(shù)計(jì)算進(jìn)行近似轉(zhuǎn)換，插補(bǔ)速度快。
　�。�3）次擺線(xiàn)的插補(bǔ)仿真軌跡與理論曲線(xiàn)非常吻合，表明了建立插補(bǔ)算法的完全正確。
　�。�4）運(yùn)用于數(shù)控系統(tǒng)中，簡(jiǎn)化加工程序的編制，提高次擺線(xiàn)加工的效率。

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