金融時(shí)間序列的波動(dòng)性建模概述
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論文導(dǎo)讀：目前關(guān)于時(shí)間序列在二階矩上的波動(dòng)性建模及協(xié)同持續(xù)的研究已經(jīng)相當(dāng)完善了。類似于二階矩的波動(dòng)性建模，在高階矩上也需要討論其波動(dòng)持續(xù)性與協(xié)同持續(xù)性，考察高階矩風(fēng)險(xiǎn)的動(dòng)態(tài)特征及規(guī)避策略。
關(guān)鍵詞：金融時(shí)間序列，波動(dòng)，持續(xù)性
1. 引言
金融系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，金融市場充滿了巨大的風(fēng)險(xiǎn)，這種巨大的風(fēng)險(xiǎn)的具體體現(xiàn)就是金融市場價(jià)格波動(dòng)的不確定性．目前，對(duì)金融市場價(jià)格波動(dòng)性的研究和實(shí)證分析己成為現(xiàn)代金融研究的核心問題之一．
金融市場價(jià)格的波動(dòng)性常用方差來描述和度量，傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型通常假設(shè)方差是不 變的，即在不同的時(shí)期方差保持一個(gè)常數(shù).資產(chǎn)定價(jià)模型也假定證券收益服從方差不變的正 態(tài)分布.隨著金融理論的發(fā)展及實(shí)證工作的深入，人們發(fā)現(xiàn)這一假設(shè)不盡合理，越來越多的 實(shí)證研究結(jié)果揭示:大量金融時(shí)間序列諸如股票價(jià)格、通貨膨脹率、利率和外匯匯率等的變化存在不確定性，即方差不是固定不變的，而是隨時(shí)間變化的，即時(shí)變性.在對(duì)方差即波動(dòng) 的進(jìn)一步研究中，人們發(fā)現(xiàn)波動(dòng)又表現(xiàn)出明顯的持續(xù)性，即當(dāng)前波動(dòng)對(duì)未來波動(dòng)會(huì)產(chǎn)生持續(xù) 性的影響．波動(dòng)持續(xù)性現(xiàn)象表明當(dāng)前的波動(dòng)性有一個(gè)聚集的特征，即大波動(dòng)跟隨著大波動(dòng)，小波動(dòng)跟隨著小波動(dòng).從風(fēng)險(xiǎn)的角度看，持續(xù)性的存在增大了未來資產(chǎn)收益的風(fēng)險(xiǎn)，從而影 響資產(chǎn)的長期定價(jià)．反之，如果不存在持續(xù)性，那么對(duì)長期投資者來說，當(dāng)前的擾動(dòng)就可以 忽略不計(jì)．顯然，對(duì)厭惡風(fēng)險(xiǎn)的投資者來說，波動(dòng)持續(xù)性是一個(gè)必須要考慮的因素．
2. ARCH 族波動(dòng)模型
金融市場價(jià)格波動(dòng)性的研究需要建立和運(yùn)用有關(guān)計(jì)量模型進(jìn)行系統(tǒng)和深入1的分析，因 此建立能描述金融時(shí)間序列波動(dòng)的動(dòng)態(tài)模型成為眾多金融學(xué)家和經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)家的研究課題. 近 20 年發(fā)展起來的金融時(shí)間序列波動(dòng)的模型及其分析方法，在理論和實(shí)際應(yīng)用中都取得了迅速的發(fā)展，形成了自回歸條件異方差（Autoregressive Conditional Heteroscedasticity， ARCH）族計(jì)量模型．
股票價(jià)格從一個(gè)時(shí)期到另一個(gè)時(shí)期的變化過程中，常常出現(xiàn)價(jià)格波動(dòng)聚集（Volatility Clustering）現(xiàn)象．為描述和預(yù)測這類波動(dòng)聚集性，Engle 于 1982 年創(chuàng)造性地運(yùn)用時(shí)間序列 模型來刻畫條件方差的時(shí)變性，提出了自回歸條件異方差模型（ARCH），并將該方法成功 地應(yīng)用于英國通貨膨脹指數(shù)的波動(dòng)性研究[1]，這標(biāo)志著異方差建模研究的開始. ARCH 模型 一經(jīng)提出，即以其良好的統(tǒng)計(jì)性能和對(duì)波動(dòng)現(xiàn)象的準(zhǔn)確描述得到了廣泛的應(yīng)用，并成為當(dāng)今波動(dòng)性建模分析的最重要的工具.隨后對(duì)它的各種擴(kuò)充和修改成為熱門的研究專題，相繼產(chǎn) 生了許多有關(guān)的理論及應(yīng)用方面的研究成果，出現(xiàn)了許多派生的 ARCH 類模型．縱觀 ARCH 模型的發(fā)展，經(jīng)歷了從 ARCH 模型到廣義 ARCH 即 GARCH 模型，從線性 ARCH 模型到非
1 資助項(xiàng)目：自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（70471029）
線性 ARCH 模型以至非線性 GARCH 模型，從平穩(wěn) GARCH 模型到單整 GARCH 模型以至分整 GARCH 模型，從單變量 GARCH 模型到多變量即向量 GARCH 模型等不同的發(fā)展階段. 在眾多的 ARCH 類模型中，最基本也是最重要的幾種模型為 Engle（1982）提出的 ARCH 模型、Engle 等人（1987）的 ARCH 一 M 模型[2]、Bollerslev（1986）的 GARCH 模型[3]、Engle 和 Bollerslev（1986）的單整 GARCH 即 IGARCH 模型、Nelson（1990）的指數(shù) GARCH 即EGARCH 模型[4]、Bollerslev 等人（1996）的分?jǐn)?shù)單整 GARCH 即 FIGARCH 和 FIEGARCH 模型[5][6]以及 Bollerslev、Engle 和 Wooldridge（1988）的向量 GARCH 模型[7].ARCH 理論是目前國際上非常前沿的用于金融市場資產(chǎn)定價(jià)的理論。論文格式。
目前對(duì)波動(dòng)性建模的方法除了自回歸條件 異 方差（ Autoregressive Conditional
Heteroscedasticity，ARCH）族模型之外，還有一類模型即 Taylor（1986）提出的隨機(jī)波動(dòng)
�。⊿tochastic Volatility，SV）模型[8].在 SV 模型中，波動(dòng)過程是由一個(gè)潛在自回歸變量序列 表示，可以直接與一類應(yīng)用在資產(chǎn)定價(jià)理論中的擴(kuò)散過程相聯(lián)系．基于對(duì)不同金融波動(dòng)問題 的研究，SV 模型也得到了多方面的擴(kuò)展.SV 模型與 ARCH 模型的本質(zhì)區(qū)別就在于 SV 模型的波動(dòng)性不可直接觀測，而 ARCH 模型的波動(dòng)性是可直接觀測的.與 SV 模型相比，ARCH 類模型顯示了極強(qiáng)的生命力.
3. 高階矩風(fēng)險(xiǎn)建模
Engel 和 Bollerslev 的一元及多元 GARCH 模型為討論波動(dòng)的二階矩風(fēng)險(xiǎn)提供了有效的 工具.但是，金融市場中不僅存在二階矩風(fēng)險(xiǎn)即方差風(fēng)險(xiǎn)，而且還存在高階矩風(fēng)險(xiǎn)如三階矩 風(fēng)險(xiǎn)（或偏度風(fēng)險(xiǎn)）、四階矩風(fēng)險(xiǎn)（或峰度風(fēng)險(xiǎn)）.諸多的實(shí)證研究表明，金融資產(chǎn)收益分 布存在負(fù)的偏度（negative skewness）和過度峰度（excess kurtosis），負(fù)偏度的存在使得資產(chǎn)收益下降的可能性遠(yuǎn)大于上升的可能性，過度峰度的存在使得極值事件發(fā)生的可能性極大地增加，將其稱為高階矩風(fēng)險(xiǎn).這些高階矩風(fēng)險(xiǎn)的存在勢必會(huì)影響到投資者的投資決策，因 此引入高階矩進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)描述是非常必要的．許多學(xué)者對(duì)高階矩風(fēng)險(xiǎn)問題進(jìn)行了研究.Kraus 等
�。�1976）、Lim（1989）討論了帶有三階矩風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)定價(jià)問題[9][10]，Konno 等（1993）、 Sun 等（2003）討論了帶有三階矩風(fēng)險(xiǎn)的組合投資問題[11][12];Hwang 等（1999）討論了高階 矩風(fēng)險(xiǎn)（包括三階矩和四階矩）的風(fēng)險(xiǎn)溢酬問題[13]; Jondeau等（2006）給出了高階矩風(fēng)險(xiǎn) 下的最優(yōu)投資組合選擇方法[14].還有一些學(xué)者以 Working Paper 的形式討論了高階矩風(fēng)險(xiǎn)下 的組合投資問題，如 Davies 等（2004）利用多項(xiàng)式目標(biāo)規(guī)劃的方法確定均值-方差-偏度-峰 度有效前沿[15]，Harvey 等（2004）利用 Bayes 決策方法討論高階矩風(fēng)險(xiǎn)下的最優(yōu)投資組合 選擇問題[16]，Cvitanic 等（2005）考慮了跳躍過程的高階矩風(fēng)險(xiǎn)下組合投資問題[17].
然而，這些研究成果都是靜態(tài)的，沒有考慮到二階矩乃至高階矩風(fēng)險(xiǎn)的時(shí)變性.1999 年， Harvey 等人首先根據(jù) GARCH 模型的建模方法提出了自回歸條件偏度模型（GARCHS）來 描述時(shí)間序列二階矩和三階矩的動(dòng)態(tài)特征[18]．隨后，他們（2000、2002）又分別討論了帶 有條件偏度的資產(chǎn)定價(jià)問題與時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢酬問題[19][20]，開創(chuàng)了討論帶有動(dòng)態(tài)高階矩 風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)定價(jià)與組合投資的先河. Jondeau 等（2003）、Leon 等（2005）考慮到時(shí)間序列 建模中同時(shí)出現(xiàn)的時(shí)變方差，時(shí)變偏度和時(shí)變峰度，進(jìn)一步提出了一元自回歸條件異方差- 偏度-峰度模型（GARCHSK）用于同時(shí)描述金融時(shí)間序列二階矩、三階矩和四階矩的動(dòng)態(tài) 特征[21][22].許啟發(fā)（2006）提出了一個(gè)新的高階矩模型—帶有均值項(xiàng)的信息非對(duì)稱廣義自回歸條件異方差-偏度-峰度 NAGARCHSK-M 模型，并給出了用于一整套討論高階矩波動(dòng)性建模的建模技術(shù)[23].另外，他和張世英（2007）給出多元 GARCHSK 模型的向量表達(dá)，用獨(dú)立
成分分解技術(shù)來解決多元 GARCHSK 建模中的“維數(shù)災(zāi)難”問題，給出多元條件高階矩波動(dòng)率的估計(jì)方法[24].蔣翠俠和他們基于效用函數(shù)的 Taylor 展開推導(dǎo)出帶有條件高階矩風(fēng)險(xiǎn)的動(dòng)態(tài)組合投資策略，并利用遺傳算法進(jìn)行求解多元 GARCHSK 模型[25].這些高階矩波動(dòng)性建模 都沿襲了Bollerslev （1986）的 GARCH 模型結(jié)構(gòu)，是將 GARCH 模型向三階矩和四階矩的推廣．
在高階矩波動(dòng)性建模方面，國際上正處于起步階段，國內(nèi)關(guān)于它的報(bào)道也很少.相信隨 著研究的深入，人們會(huì)越加關(guān)注時(shí)變高階矩風(fēng)險(xiǎn)對(duì)組合投資和資產(chǎn)定價(jià)的影響，時(shí)變高階矩風(fēng)險(xiǎn)的討論及高階矩波動(dòng)性建模必將受到越來越多的重視.
4. 多個(gè)金融時(shí)間序列間的協(xié)整理論
協(xié)整理論描述的是單整（或非平穩(wěn)）時(shí)間序列之間一階矩下的長期均衡關(guān)系，它的經(jīng)濟(jì) 意義在于，兩個(gè)或多個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列雖然每個(gè)時(shí)間序列具有各自的長期波動(dòng)規(guī)律，但如果 它們是協(xié)整的，則它們之間存在著一個(gè)長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系.Engle 和 Granger 于 1987 年提出協(xié)整的概念，指出在在多維時(shí)間序列系統(tǒng)的分析中，如果每個(gè)分量時(shí)間序列都是 d 階單整 (integration)的，那么這些分量時(shí)間序列的某種線性組合會(huì)降低其單整的階數(shù)，這種向量時(shí)間序列稱為協(xié)整系統(tǒng)(co-integrated system)，他們還給出了著名的 Granger 表現(xiàn)定理，指出了 協(xié)整系統(tǒng)的表現(xiàn)形式[26]．但 Engle 等的協(xié)整概念假設(shè)向量時(shí)間向量的每個(gè)分量序列是一階單 整的，而且單整階數(shù)全部相等，這在實(shí)際應(yīng)用中具有很大的局限性.實(shí)際上，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中構(gòu)成系統(tǒng)的分量序列很可能具有高階的單整性，而且單整的階數(shù)也可能不相同．張喜彬、張世 英和楊寶臣（1997）針對(duì)單整階數(shù)相等這一問題提出了廣義協(xié)整的概念，并以此為出發(fā)點(diǎn)， 給出廣義協(xié)整關(guān)系的表現(xiàn)定理，將 Engle 和 Granger 的協(xié)整思想進(jìn)行了推廣[27].程細(xì)玉等
（2000）則針對(duì)整數(shù)階的局限性問題，提出了分整時(shí)間序列的概念[28]. 在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中， 許多經(jīng)濟(jì)變量具有長記憶的特點(diǎn)，具體表現(xiàn)就在分?jǐn)?shù)階的特性上．同時(shí)為了改變線性協(xié)整的 局限性，張喜彬等（1998）針對(duì)單整時(shí)間序列的非線性特點(diǎn)進(jìn)行了非線性協(xié)整研究[29]．程 細(xì)玉、張世英（2001）討論了向量分整時(shí)間序列的非線性協(xié)整關(guān)系，對(duì)所定義的非線性協(xié)整 關(guān)系給出了精確的表達(dá)式[30]．曹廣喜（2006）給出了向量分整時(shí)間序列的線性協(xié)整關(guān)系存 在的必要條件和線性協(xié)整關(guān)系存在的一個(gè)充分條件，且給出了具體的非線性函數(shù)形式，并結(jié)合 R/S 分析給出了一個(gè)判斷非線性協(xié)整關(guān)系的實(shí)用算法[31]．因此，向量分整時(shí)間序列的線性和非線性協(xié)整關(guān)系成為近年來時(shí)間序列和計(jì)量經(jīng)濟(jì)研究的一個(gè)熱點(diǎn)問題．在向量分整時(shí)間 序列的協(xié)整關(guān)系研究中，一個(gè)重要的問題就是線性或非線性協(xié)整關(guān)系存在性的判斷和線性或非線性函數(shù)具體形式的尋找．另外，非線性協(xié)整關(guān)系的誤差校正模型和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)也有待進(jìn)一步研究．
5. 金融時(shí)間序列間的協(xié)同持續(xù)理論
現(xiàn)代金融市場中，不同市場間，或不同資產(chǎn)、影響因子之間，往往存在著波動(dòng)的相關(guān)關(guān)系，隨著世界金融市場的飛速發(fā)展，這種聯(lián)系愈加緊密. 在 Markowitz 的組合投資理論中， 用收益率的方差作為風(fēng)險(xiǎn)的度量指標(biāo)，認(rèn)為降低風(fēng)險(xiǎn)的方法是不要把資金全部放在一種收益和風(fēng)險(xiǎn)都最高的股票上，而是分散地投放在若干種收益和風(fēng)險(xiǎn)都不同的股票上，這樣就可以使總的風(fēng)險(xiǎn)降低到投資者愿意或可以接受的水平。為了分散、化解金融風(fēng)險(xiǎn)，需要對(duì)多個(gè)資產(chǎn)進(jìn)行組合，進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)的對(duì)沖，這要建立在對(duì)多個(gè)變量波動(dòng)的相關(guān)分析基礎(chǔ)之上.因此，研 究多個(gè)變量的波動(dòng)與風(fēng)險(xiǎn)特性對(duì)于規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)有著十分重要的作用．協(xié)同持續(xù)理論是針對(duì)多個(gè)
時(shí)間序列的波動(dòng)持續(xù)性而發(fā)展起來的理論，它反映的是多個(gè)時(shí)間序列在二階矩（方差和協(xié)方 差）意義下的均衡關(guān)系，是對(duì)協(xié)整概念的擴(kuò)展，也即協(xié)方差本身的協(xié)整關(guān)系．
所謂波動(dòng)的持續(xù)性是指當(dāng)前的條件方差的變化將對(duì)未來各個(gè)時(shí)期條件方差的預(yù)測產(chǎn)生持續(xù)性的影響，及當(dāng)前條件方差對(duì)于未來波動(dòng)的影響并不隨著時(shí)間的推移而趨于零．每一個(gè) 時(shí)間序列，往往都具有波動(dòng)的持續(xù)性，波動(dòng)持續(xù)性是金融市場中的重要現(xiàn)象．從風(fēng)險(xiǎn)的角度 看，持續(xù)性的存在增大了未來資產(chǎn)收益的風(fēng)險(xiǎn)，從而影響資產(chǎn)的長期定價(jià)．因此波動(dòng)持續(xù)性的存在以及風(fēng)險(xiǎn)的持續(xù)性規(guī)避是一個(gè)必須要考慮的問題.
波動(dòng)的持續(xù)性現(xiàn)象類似于時(shí)間序列的長記憶性，長記憶反映的是時(shí)間序列一階矩的長期 性質(zhì)，波動(dòng)的持續(xù)性則反映了時(shí)間序列二階矩的長期性質(zhì)．Engle 和 Bollersev (1986)認(rèn)為 產(chǎn)生波動(dòng)持續(xù)性現(xiàn)象的原因是由于波動(dòng)過程存在近似單位根[32]，針對(duì)這一現(xiàn)象，提出了 GARCH 與 IGARCH 模型，在 IGARCH 模型中，當(dāng)前條件方差的波動(dòng)會(huì)對(duì)各時(shí)期條件方 差的預(yù)測產(chǎn)生明顯的影響．從預(yù)測角度看，GARCH 與 IGARCH 模型分別類似于對(duì)時(shí)間序 列條件均值建模中的平穩(wěn)序列 I(0) 和單整序列 I(1)．
他們( 1993 )還進(jìn)一步討論了向量 GARCH 模型的持續(xù)性問題，在協(xié)整理論和波動(dòng)持續(xù) 性概念的基礎(chǔ)上提出了協(xié)同持續(xù)的思想，即如果向量 GARCH 過程的每一個(gè)分量都是波動(dòng)持續(xù)的，而向量 GARCH 過程各分量的某種線性組合卻不表現(xiàn)出波動(dòng)持續(xù)性， 則稱向量GARCH 過程是協(xié)同持續(xù)的[33]．李漢東、張世英等（2002）從條件期望的角度給出了波動(dòng)
持續(xù)性的界定，并從單整的角度重新給出了協(xié)同持續(xù)的另外一種定義：如果向量GARCH 過 程是單整的，但分量之間的某種線性組合不存在單位根，也即協(xié)方差平穩(wěn)，則稱向量 GARCH 過程是協(xié)同持續(xù)的[34]．杜子平、張世英（2003）提出了部分協(xié)同持續(xù)、分塊協(xié)同持續(xù)等概念，并討論了時(shí)間序列的平穩(wěn)性與波動(dòng)持續(xù)性的等價(jià)關(guān)系，進(jìn)一步研究了協(xié)同持續(xù)的本質(zhì)[35]．劉丹紅、張世英（2007）對(duì)于前面的兩個(gè)協(xié)同持續(xù)定義，證明了它們之間存在內(nèi)在聯(lián) 系，進(jìn)一步建立了協(xié)整與協(xié)同持續(xù)的關(guān)系，在矩意義下將協(xié)整與協(xié)同持續(xù)統(tǒng)一起來，有助于研究經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的波動(dòng)過程的協(xié)同持續(xù)性問題[36]．江孝感、王利、朱濤（2008）在協(xié)整和協(xié)同持續(xù)基本理論的基礎(chǔ)上，討論了協(xié)整與協(xié)同持續(xù)之間的數(shù)量經(jīng)濟(jì)關(guān)系，得出結(jié)論：若各分量均為一階單整且各分量間存在線性協(xié)整關(guān)系，則其一定存在線性協(xié)同持續(xù)，并且協(xié)同持續(xù)向量即為協(xié)整向量[37]．
這些關(guān)于協(xié)同持續(xù)的研究都是通過線性組合的方法來消除向量的波動(dòng)持續(xù)性．但是金融
市場是一個(gè)非線性系統(tǒng)，諸如混沌、分叉與分形等都是金融市場的非線性本質(zhì)特征．對(duì)金融 市場多變量來說，用線性組合的方法有時(shí)候并不能消除向量的波動(dòng)持續(xù)性，也就是說這些多變量之間不存在線性協(xié)同持續(xù)，但不等于這些向量之間不具有協(xié)同持續(xù)性，或者它們之間存 在著非線性協(xié)同持續(xù)的關(guān)系可以來消除或削弱波動(dòng)的持續(xù)性．鑒于此，劉丹紅、徐正國、張世英等（2004）在線性協(xié)同持續(xù)的基礎(chǔ)上用短記憶來給出了非線性協(xié)同持續(xù)的定義，并提出 用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近非線性協(xié)同持續(xù)函數(shù)，同時(shí)證明滬深股市存在非線性協(xié)同持續(xù)關(guān)系 [38]．許啟發(fā)、張世英(2005)基于脈沖響應(yīng)函數(shù)給出了分?jǐn)?shù)維波動(dòng)持續(xù)及協(xié)同持續(xù)的定義及相應(yīng)定理，擴(kuò)展了波動(dòng)持續(xù)及協(xié)同的研究范圍，使得對(duì)分形市場中相關(guān)主題的討論成為可能[39]．申敏、馮勤超、江孝感（2005）將一元 FIGARCH 推廣到二元常相關(guān)對(duì)角型 FIGARCH， 研究了不同金融市場之間的波動(dòng)關(guān)系，并利用模型和方法得出了滬深兩市之間存在分?jǐn)?shù)維協(xié) 同持續(xù)關(guān)系的結(jié)論[40]．
協(xié)同持續(xù)性及非線性協(xié)同持續(xù)性方法的提出為從動(dòng)態(tài)角度研究風(fēng)險(xiǎn)的持續(xù)性及其規(guī)避
策略提供了基礎(chǔ)．
6. 結(jié)論
目前關(guān)于時(shí)間序列在二階矩上的波動(dòng)性建模及協(xié)同持續(xù)的研究已經(jīng)相當(dāng)完善了。論文格式。類似于二階矩的波動(dòng)性建模，在高階矩上也需要討論其波動(dòng)持續(xù)性與協(xié)同持續(xù)性，考察高階矩 風(fēng)險(xiǎn)的動(dòng)態(tài)特征及規(guī)避策略。論文格式。由于國際上基于高階矩的波動(dòng)性建模工作剛剛開展，所以關(guān)于 高階矩序列的波動(dòng)持續(xù)及協(xié)同持續(xù)的討論很少，而此類問題的討論對(duì)于研究高階矩風(fēng)險(xiǎn)的動(dòng)態(tài)變化特征及高階矩風(fēng)險(xiǎn)對(duì)金融投資決策的影響至關(guān)重要，有待進(jìn)一步研究。
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