淺析一個幾何命題證明
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論文導(dǎo)讀:：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).從不同的角度分析問題、解決問題是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的一個好方法,對培養(yǎng)思維的靈活性,廣闊性有重要意義.本文從三個角度出發(fā),給出了一個幾何命題的證明方法.
論文關(guān)鍵詞：幾何證明，數(shù)學(xué)解題，解析幾何，射影觀點(diǎn)
0引言
數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，在初等幾何課程里，這兩方面的內(nèi)容特別明顯.決初等幾何命題,常常利用一些常用的幾何定理證明。另外也可以有兩種有效的解決途徑：建立直角坐標(biāo)系利用解析幾何的知識來解決,或者從射影的角度出發(fā)利用高等幾何的有關(guān)知識解決.這三種不同的思考途徑相互聯(lián)系,相互服務(wù),開闊了我們的思路,使解題方法更靈活.下面以一個幾何題目為例子,分別就這三種方式給出闡述.
1相關(guān)定義與定理
定義1.1.1 一線束中四直線被任一直線（不通過線束中心或頂點(diǎn)）所截四點(diǎn)的交比解析幾何，稱為四直線的交比.記為
.
定義1.1.2 點(diǎn)列和線束成射影對應(yīng),而對應(yīng)線通過對應(yīng)點(diǎn)的，這種特殊的射影對應(yīng)稱為透視對應(yīng),記為
.
定義1.1.3 若
,我們說C,D兩點(diǎn)調(diào)和分割線段AB.
2解幾何題常用的幾種思考方法
數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).傳統(tǒng)提倡的“一題多解”是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的一個好方法,尤其對培養(yǎng)思維的靈活性,廣闊性是值得注意的.
引例:設(shè)
為銳角三角形
的三高線.證明：這些高線平分三角形
DEF的三個內(nèi)角
2.1利用常用的一些歐式幾何定理來解決問題.
數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，在初等幾何課程里，這兩方面的內(nèi)容特別明顯.初等幾何命題所涉及的內(nèi)容是多方面的.利用歐式幾何相關(guān)定理來解決初等幾何命題,要求我們必須對教材相關(guān)內(nèi)容融會貫通,具備對幾何問題的觀察、分析、綜合、推究的能力,對常見的歐式幾何定理、公理等有一個熟練的駕馭性.同時(shí),對一個問題的解決來說，通用方法的掌握,熟練技巧的養(yǎng)成,克服困難的剛毅精神等都非常重要,這樣我們在處理有關(guān)題目時(shí)才能游刃有余.
解析:對本例來講,題目條件出現(xiàn)了較多的直角，我們可以考慮有關(guān)圓的一些結(jié)論,可得B、C、E、F四點(diǎn)共圓解析幾何，所以∠FBE=∠FCE；B、D、O、F四點(diǎn)共圓，所以∠FBE=∠FDO；C、D、O、E四點(diǎn)共圓，所以∠ODE=∠FCE.由以上三等式可得：∠FDO=∠EDO，即AD平分∠FDE.同理可證其余兩高線也為相應(yīng)內(nèi)角的平分線.命題得證.
2.2利用解析幾何的有關(guān)知識解決問題
解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究幾何，為了把代數(shù)運(yùn)算引導(dǎo)幾何中來，最根本的做法就是把幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的代數(shù)化、數(shù)量化,我們是建立坐標(biāo)系來解決這個問題的: 建立坐標(biāo)系解析幾何，用方程來表示圖形的一些元素，通過研究方程來研究圖形.對于一些幾何命題,利用解析幾何的方法,構(gòu)建坐標(biāo)系來證明給我們提供了全新的視角,形成一種新的思維方式.
解析：以
分別為y軸和x軸建立直角坐標(biāo)系,D為坐標(biāo)系原點(diǎn).設(shè)三角形的頂點(diǎn)和垂心坐標(biāo)為
,用截距式寫出
的方程:
.聯(lián)立解得交點(diǎn)E的坐標(biāo),所以直線DE的斜率為
.仿此,寫出直線DF的斜率
.可見直線DE與DF對稱于x軸和y軸.所以AD為∠FDE的角平分線. 同理可證其余兩高線也為相應(yīng)內(nèi)角的平分線.命題得證.
2.3從射影的觀點(diǎn)出發(fā)思考問題
有關(guān)研究圖形在射影變換下不變的性質(zhì)的幾何叫射影幾何,它所處理的是構(gòu)成幾何圖形的最根本的定性方面和描述方面的性質(zhì),而且不用線段與角的度量.在經(jīng)典幾何中,射影幾何處于一種特殊的地位,通過它可以把一些幾何聯(lián)系起來.歐式幾何是射影幾何的子幾何.角平分線的問題,是中學(xué)幾何常見的問題.三角形中一個角的內(nèi)角和外角平分線,將對邊分成兩線段的比值,都和鄰邊成比例,與射影幾何中的調(diào)和分割密切聯(lián)系.
解析： :延長DE交BA于點(diǎn)P,DE交CF于點(diǎn)Q.由
和
得: 
.由交比的性質(zhì)
,所,
，1舍去.所以
,即點(diǎn)O和點(diǎn)C調(diào)和分割線段FQ,由角平分線的性質(zhì),所以
.同理可證其余兩高線也為相應(yīng)內(nèi)角的平分線.命題得證.
3結(jié)論
利用歐式幾何的有關(guān)結(jié)論證明問題，需要我們掌握基本的知識和解題方法，這對于鍛煉我們發(fā)現(xiàn)問題解決問題，從而提高我們的能力有很大幫助；利用解析幾何的觀點(diǎn)解決問題解析幾何，重要性在于它的方法,由于解析幾何方法解決各類問題的普遍性，它已成為幾何研究中的一個基本方法.射影觀點(diǎn)對歐式幾何有重大的指導(dǎo)意義，從一些圖形彼此之間的變換關(guān)系入手,能巧妙地解決有關(guān)中學(xué)幾何問題,并且使證明過程簡化.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).我們提倡“一題多解”，從不同的角度分析問題、解決問題是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的一個好方法,尤其對培養(yǎng)思維的靈活性,廣闊性是值得注意的. 只要我們善于分析歸納,將各種知識融會貫通,定能開闊解題思路.
參考文獻(xiàn)
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