在沖突中轉換，在反思中變通對《數(shù)列單調性》的感悟
2016-04-20 19:38:43 安裝信息網(wǎng)
論文摘要：函數(shù)是中學數(shù)學的一個核心概念，數(shù)列是特殊的函數(shù)，本文通過三個問題及其三個變式的詳細研究，加深學生對數(shù)列是特殊的函數(shù)的認識和理解，在問題沖突中尋求解題策略，靈活地進行問題轉換；在聯(lián)想與反思中尋求變通。關注知識的自然生成過程和解題思路的自然生成。從而有效地落實新課標的精神。
論文關鍵詞：函數(shù),數(shù)列,轉換,變通
從宏觀上說，數(shù)學中一切問題的解決都離不開轉換。美國數(shù)學家波利亞特別強調轉換在解題中的作用，他指出：解體的過程實際上就是一個不斷對問題轉換的過程。所謂轉換，就是指思維能從一類對象或情境迅速地轉到另一類內容不同的對象或情境。他是思維靈活性的一個重要體現(xiàn)，是求異思維的基礎。因而，轉換是數(shù)學思想方法的靈魂。
1、問題提出
宿州市十三校重點中學2008-2009學年度第一學期期中考試高二數(shù)學第12題：設數(shù)列{a}，a=n+kn(n
此題作為選擇題中的壓軸題得分率僅為31.3%。筆者先后找了8名做錯學生進行個別訪談，發(fā)現(xiàn)存在許多問題：概念不清，不會運用a>a;有的學生知道運用a>a得出k>-2n-1而無法進行轉換得出正確答案；計算出錯；有的學生能夠聯(lián)系二次函數(shù)但畫圖不到位，沒能考慮到數(shù)列的特殊性而錯選答案C、D等等。針對上述出現(xiàn)的問題，筆者在試卷分析時開設一節(jié)專題，對數(shù)列的單調性進行了探究。不妥之處，敬請指正。
2、課堂摘錄
問題1數(shù)列{a}是單調遞增數(shù)列，且a=kn+1(n∈N)，求實數(shù)k的取值范圍。
T：同學們知道，對于數(shù)列{a}，當a>a時，它是單調遞增數(shù)列；當a時，它是單調遞減數(shù)列。這道題怎樣做呢？
S1：∵{a}是單調遞增數(shù)列，∴k(n+1)+1>kn+1,即k>0。故k的取值范圍是（0，+∞）。
反思1T：從通項公式看，由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，從函數(shù)的觀點看，a是n的一次函數(shù)，從結果上看，兩者的單調性是相同的。因此，數(shù)列的單調性可以借助于函數(shù)的單調性來切入。
變式1、數(shù)列{a}是單調遞減數(shù)列，且a=kn+m(n∈N，m是常數(shù))，求實數(shù)k的取值范圍。
T:那位同學說說這道題的解法？
S2：因為a是n的一次式且是單調遞減數(shù)列，所以k＜0
T：非常好，掌聲鼓勵。
點評：通過實例讓學生體驗“數(shù)列是特殊的函數(shù)”，用函數(shù)的觀點來統(tǒng)攝數(shù)列問題，同時為下一個問題作好鋪墊。
問題2數(shù)列{a}是單調遞增數(shù)列，且a=n+kn(n
，則實數(shù)k的取值范圍是（）。
�。ˋ）（-3，+∞）（B）[-3，+∞）（C）（-2，+∞）（D）[-2，+∞）
S2：∵{a}是單調遞增數(shù)列，∴(n+1)+K(n+1)>n+kn，化簡得k>-2n-1，。。。但是沒有選項。
T：一般來說，求得實數(shù)k的取值范圍不應含有字母，仔細觀察通項，能否轉換一下角度？
S3：從通項公式看a是關于n的二次式，可以利用二次函數(shù)的單調性來解答。由于數(shù)列{a}是單調遞增數(shù)列，而a=1>0因此有-k/2，k>-2。應選C
S4：不對，應該是-k/2≤，得k≥-2。應選D
T：如果是二次函數(shù)的單調遞增，S4是對的。這是數(shù)列的單調性問題，數(shù)列和函數(shù)一樣嗎？究竟選哪一個呢？不妨我們一起來畫一下草圖。
S5：不一樣，數(shù)列是特殊的函數(shù)。
T：很好，那么特殊性是什么呢？
S6：特殊性就在于n∈N，它的圖像是散點圖而不是連續(xù)曲線。
T：非常好，那么對稱軸n=-k/2能否大于1呢？畫圖試試看。
S7：通過平移對稱軸n=-k/2我們發(fā)現(xiàn)1，如果-k/2≥3/2，那么a≤a與題設不符。從而我們得出k∈（-3，+∞）故選A
T：S7同學回答得非常好，她通過平移拋物線給出了正確的答案。掌聲祝賀。請看下面一道題：
變式2、數(shù)列{a}是單調遞減數(shù)列，且a=-n+kn(n，求實數(shù)k的取值范圍。
同學們認真地畫圖，積極地思考，不一會兒有的同學舉起了手。
S8：∵數(shù)列{a}是單調遞減數(shù)列，∴k/2＜1.5，即k＜3
點評：抓住問題實質，適時點撥，讓學生“動”起來，通過直觀圖形來建構知識，通過挖掘差異使學生真正體會“數(shù)列是特殊的函數(shù)”。
反思2T：通過以上的探究，我們體會到數(shù)列的單調性可以轉換到函數(shù)的單調性來處理，但又有自己的特殊性。如果a是關于n的三次式呢？請看問題3
問題3數(shù)列{a}是單調遞增數(shù)列，且a=n+kn(n，求實數(shù)k的取值范圍。
T：對于三次函數(shù)以前我們很少涉及到，也不知道它的圖像和性質，顯然，無法運用函數(shù)的單調性來處理，怎么辦呢？
S（合）：回到定義中去（波利亞語）
S9：∵{a}是單調遞增數(shù)列，∴a>a即(n+1)+K(n+1)>n+kn，化簡得k>-3n-3n-1，這是關于n的不等式，仍不是一個確定的實數(shù)。。。
T：當我們對面臨的問題產生困惑時，最好的辦法就是：回到題目中去，對條件進行再一次解讀�！皗a}是單調遞增數(shù)列”指的是什么？
S10：當n
[1，+∞），a>a恒成立。
T：很好，k>-3n-3n-1就意味著不等式在n[1，+∞）恒成立。那么k>（-3n-3n-1），這就轉化為求函數(shù)f（n）=-3n-3n-1的最大值，顯然f（n）在n[1，+∞）是減函數(shù)，它的最大值就是-7，即k>-7。
那么如何解k>-2n-1？
S10:由于f（n）=-2n-1是減函數(shù)，所以n=1時f(n)最大值是-3，即k∈（-3，+∞）。這與用函數(shù)的方法求得結果是一致的，并且比它更簡單。
T：誰來總結一下解這類問題的通法？
S11：根據(jù)題意，得出含有n不等式，然后求f(n)在n[1，+∞）最值
T：你總結得非常好！概括出這類問題的通法。誰來做下面一題？
變式3數(shù)列{a}是單調遞減數(shù)列，且a=kn+n(n，求實數(shù)k的取值范圍。
S12:∵數(shù)列{a}是單調遞減數(shù)列，∴a＜a，即k(n+1)+n+1＜kn+n，整理得k(2n+1)＜-1，∵2n+1＞0，∴k＜
，顯然，當
的最小值為-1/3，故k＜-1/3.
T：S12回答得非常精彩，過程細致完整，答案準確無誤，這是我們解題時必須做到的。每做完一道題，我們都要回過頭來看一看，悟一悟，有無最簡的方法？過程是否規(guī)范？答案是否正確？從而形成良好的解題習慣。
反思3數(shù)列是特殊的函數(shù)，用函數(shù)的性質研究數(shù)列的單調性是可行的，但當我們面臨陌生的函數(shù)（三次函數(shù)）不知道他的性質時，無法建立起聯(lián)系，用數(shù)學家玻利亞的一句話：“回到定義中去”。從而建立不等關系，當?shù)贸龅慕Y果與要求不一致時（如k>-2n-1），回到題目中去，對條件進行再一次解讀。從而轉化為不等式恒成立問題，因而揭示了數(shù)學的本質。
3、教后感悟
教的真諦在于導，學的成功在于悟，課堂教學的根本在于啟發(fā)學生如何去想，讓學生用內心創(chuàng)造與體驗來學習，將數(shù)學知識與學生的日常生活更好地糅合在一起。作為一線教師，就需要經常反思我們的教學，感悟教學的實質。
3.1加深學生對數(shù)列是特殊的函數(shù)的認識和理解。
自從20世紀初，在英國數(shù)學家貝利和德國數(shù)學家克萊因等人的大力倡導和推動下，函數(shù)進入了中學數(shù)學�？巳R因認為：“函數(shù)概念，應該成為數(shù)學教育的靈魂。以函數(shù)概念為中心，將全部數(shù)學教材集中在他周圍，進行充分的綜合。”因此，函數(shù)已成為高中數(shù)學的核心概念。高中數(shù)學必修5（北師大版）第一章《數(shù)列》第一節(jié)安排了“數(shù)列的函數(shù)特性”這一內容，以數(shù)列的單調性為主線，從定義和圖像兩個方面，讓學生認識數(shù)列是特殊的函數(shù)。那么只知道數(shù)列是自變量n是正整數(shù)，圖像是一些孤立點就行了嗎？如何讓學生進一步理解數(shù)列是特殊的函數(shù)呢？必須抓住兩個關鍵詞“函數(shù)”、“特殊性”。于是本文設計了三個問題：第一個問題的用意在于讓學生懂得數(shù)列與函數(shù)是相通的。體現(xiàn)數(shù)列的“函數(shù)性”。但數(shù)列又不等同于函數(shù)，通過問題2來體現(xiàn)它的“特殊性”。如果按二次函數(shù)的單調性來處理應選D，這是一個錯誤的答案，為什么呢？通過教師的引導，學生的探究，平移對稱軸來理解數(shù)列的“特殊性”，形成對數(shù)列是特殊的函數(shù)的意義建構。
3.2關注解題過程的自然生成。
依據(jù)數(shù)列的單調性的定義我們設計了問題1，學生能夠較容易的得出結果，我們并不急于出現(xiàn)問題2，而是讓學生與一次函數(shù)的單調性相比較，發(fā)現(xiàn)它們是相通的，使學生初步感受到數(shù)列是特殊的函數(shù)。接下來問題是通項公式是關于n的二次式，按照S2的解法沒有答案，我們并沒有立即告訴學生如何做（為下文埋下伏筆），而是讓他們用二次函數(shù)單調性的方法來解決，很快得出答案D，但這個答案是錯誤的，為什么呢？通過平移拋物線（運動變化的直觀演示有利于對知識形成意義建構）讓學生發(fā)現(xiàn)正確的答案。與二次函數(shù)的單調性解法相比較，體會數(shù)列的‘特殊性’。三次函數(shù)的圖像和性質對學生來說相對陌生，問題3又如何解呢？用波利亞的一句話：回到定義中去。這就會再次出現(xiàn)含有n的不等式，是巧合，還是有什么規(guī)律？這就不得不使學生來面對并解決這個問題。通過數(shù)列→函數(shù)→不等式，使他們之間有機的聯(lián)系起來，有利于形成知識組快，便于儲存和提取。如果一開始就告訴學生用數(shù)列→不等式來解決，不但失去了使學生經歷問題沖突→問題轉化→問題解決這一過程，而且也失去了對“數(shù)列是特殊的函數(shù)”認識與理解，更重要地失去了一次如何揭示數(shù)學本質的大好時機。
3.3落實新課標
新課標指出：“學生的數(shù)學學習活動不應該只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數(shù)學課程還應該倡導自主探究、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的方式，這些方式有助于發(fā)揮學生學習的主動性，使學生學習過程成為‘再創(chuàng)造’過程”。每上完一節(jié)課，我們都要回顧一下新課標落實情況。根據(jù)新課標精神，筆者概括出“三多”理念。即：多動多思多交流。多動就是動腦想一想，動手做一做，動筆畫一畫，動口說一說；多思就是想一想條件有什么用？想一想“輔助元”如何添？想一想過程如何寫？想一想解法如何優(yōu)？想一想解后有何得？多交流就是把自己的想法或做法與同學或老師經常交流，達到優(yōu)勢互補，形成對知識和方法的意義建構，更有利于提高自己的解題能力和對問題的理解能力。羅增儒教授指出：數(shù)學解題是一種創(chuàng)造性活動，誰也無法教會我們所有的題目，重要的是，通過有限道題的學習去領悟那種無限道題的數(shù)學機智。筆者認為，數(shù)學機智就是在“三多”中挖掘解題規(guī)律，揭示數(shù)學本質，進行適當轉化，實現(xiàn)有效的變通。
參考文獻
1 鐘小霖 求值問題的幾種常見轉換 中等數(shù)學 1998年第4期
2 薛金星 高中數(shù)學解題方法與技巧 北京教育出版社 2003年3月
3 波利亞著,涂泓等譯, 怎樣解題 上�？萍冀逃霭嫔�,2002。
4 王學青 數(shù)學感悟學習案例評析 《中學數(shù)學教學參考》 2005。7
5 羅增儒 解題分析,應該有“第二過程”的暴露 《中學數(shù)學教學參考》 2008。10
論文關鍵詞：函數(shù),數(shù)列,轉換,變通
從宏觀上說，數(shù)學中一切問題的解決都離不開轉換。美國數(shù)學家波利亞特別強調轉換在解題中的作用，他指出：解體的過程實際上就是一個不斷對問題轉換的過程。所謂轉換，就是指思維能從一類對象或情境迅速地轉到另一類內容不同的對象或情境。他是思維靈活性的一個重要體現(xiàn)，是求異思維的基礎。因而，轉換是數(shù)學思想方法的靈魂。
1、問題提出
宿州市十三校重點中學2008-2009學年度第一學期期中考試高二數(shù)學第12題：設數(shù)列{a}，a=n+kn(n
此題作為選擇題中的壓軸題得分率僅為31.3%。筆者先后找了8名做錯學生進行個別訪談，發(fā)現(xiàn)存在許多問題：概念不清，不會運用a>a;有的學生知道運用a>a得出k>-2n-1而無法進行轉換得出正確答案；計算出錯；有的學生能夠聯(lián)系二次函數(shù)但畫圖不到位，沒能考慮到數(shù)列的特殊性而錯選答案C、D等等。針對上述出現(xiàn)的問題，筆者在試卷分析時開設一節(jié)專題，對數(shù)列的單調性進行了探究。不妥之處，敬請指正。
2、課堂摘錄
問題1數(shù)列{a}是單調遞增數(shù)列，且a=kn+1(n∈N)，求實數(shù)k的取值范圍。
T：同學們知道，對于數(shù)列{a}，當a>a時，它是單調遞增數(shù)列；當a時，它是單調遞減數(shù)列。這道題怎樣做呢？
S1：∵{a}是單調遞增數(shù)列，∴k(n+1)+1>kn+1,即k>0。故k的取值范圍是（0，+∞）。
反思1T：從通項公式看，由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，從函數(shù)的觀點看，a是n的一次函數(shù)，從結果上看，兩者的單調性是相同的。因此，數(shù)列的單調性可以借助于函數(shù)的單調性來切入。
變式1、數(shù)列{a}是單調遞減數(shù)列，且a=kn+m(n∈N，m是常數(shù))，求實數(shù)k的取值范圍。
T:那位同學說說這道題的解法？
S2：因為a是n的一次式且是單調遞減數(shù)列，所以k＜0
T：非常好，掌聲鼓勵。
點評：通過實例讓學生體驗“數(shù)列是特殊的函數(shù)”，用函數(shù)的觀點來統(tǒng)攝數(shù)列問題，同時為下一個問題作好鋪墊。
問題2數(shù)列{a}是單調遞增數(shù)列，且a=n+kn(n
，則實數(shù)k的取值范圍是（）。�。ˋ）（-3，+∞）（B）[-3，+∞）（C）（-2，+∞）（D）[-2，+∞）
S2：∵{a}是單調遞增數(shù)列，∴(n+1)+K(n+1)>n+kn，化簡得k>-2n-1，。。。但是沒有選項。
T：一般來說，求得實數(shù)k的取值范圍不應含有字母，仔細觀察通項，能否轉換一下角度？
S3：從通項公式看a是關于n的二次式，可以利用二次函數(shù)的單調性來解答。由于數(shù)列{a}是單調遞增數(shù)列，而a=1>0因此有-k/2，k>-2。應選C
S4：不對，應該是-k/2≤，得k≥-2。應選D
T：如果是二次函數(shù)的單調遞增，S4是對的。這是數(shù)列的單調性問題，數(shù)列和函數(shù)一樣嗎？究竟選哪一個呢？不妨我們一起來畫一下草圖。
S5：不一樣，數(shù)列是特殊的函數(shù)。T：很好，那么特殊性是什么呢？
S6：特殊性就在于n∈N，它的圖像是散點圖而不是連續(xù)曲線。
T：非常好，那么對稱軸n=-k/2能否大于1呢？畫圖試試看。
S7：通過平移對稱軸n=-k/2我們發(fā)現(xiàn)1，如果-k/2≥3/2，那么a≤a與題設不符。從而我們得出k∈（-3，+∞）故選A
T：S7同學回答得非常好，她通過平移拋物線給出了正確的答案。掌聲祝賀。請看下面一道題：
變式2、數(shù)列{a}是單調遞減數(shù)列，且a=-n+kn(n
，求實數(shù)k的取值范圍。同學們認真地畫圖，積極地思考，不一會兒有的同學舉起了手。
S8：∵數(shù)列{a}是單調遞減數(shù)列，∴k/2＜1.5，即k＜3
點評：抓住問題實質，適時點撥，讓學生“動”起來，通過直觀圖形來建構知識，通過挖掘差異使學生真正體會“數(shù)列是特殊的函數(shù)”。
反思2T：通過以上的探究，我們體會到數(shù)列的單調性可以轉換到函數(shù)的單調性來處理，但又有自己的特殊性。如果a是關于n的三次式呢？請看問題3
問題3數(shù)列{a}是單調遞增數(shù)列，且a=n+kn(n
，求實數(shù)k的取值范圍。T：對于三次函數(shù)以前我們很少涉及到，也不知道它的圖像和性質，顯然，無法運用函數(shù)的單調性來處理，怎么辦呢？
S（合）：回到定義中去（波利亞語）
S9：∵{a}是單調遞增數(shù)列，∴a>a即(n+1)+K(n+1)>n+kn，化簡得k>-3n-3n-1，這是關于n的不等式，仍不是一個確定的實數(shù)。。。
T：當我們對面臨的問題產生困惑時，最好的辦法就是：回到題目中去，對條件進行再一次解讀�！皗a}是單調遞增數(shù)列”指的是什么？
S10：當n
[1，+∞），a>a恒成立。T：很好，k>-3n-3n-1就意味著不等式在n
[1，+∞）恒成立。那么k>（-3n-3n-1），這就轉化為求函數(shù)f（n）=-3n-3n-1的最大值，顯然f（n）在n[1，+∞）是減函數(shù)，它的最大值就是-7，即k>-7。
那么如何解k>-2n-1？S10:由于f（n）=-2n-1是減函數(shù)，所以n=1時f(n)最大值是-3，即k∈（-3，+∞）。這與用函數(shù)的方法求得結果是一致的，并且比它更簡單。
T：誰來總結一下解這類問題的通法？
S11：根據(jù)題意，得出含有n不等式，然后求f(n)在n
[1，+∞）最值T：你總結得非常好！概括出這類問題的通法。誰來做下面一題？
變式3數(shù)列{a}是單調遞減數(shù)列，且a=kn+n(n
，求實數(shù)k的取值范圍。S12:∵數(shù)列{a}是單調遞減數(shù)列，∴a＜a，即k(n+1)+n+1＜kn+n，整理得k(2n+1)＜-1，∵2n+1＞0，∴k＜
，顯然，當的最小值為-1/3，故k＜-1/3.T：S12回答得非常精彩，過程細致完整，答案準確無誤，這是我們解題時必須做到的。每做完一道題，我們都要回過頭來看一看，悟一悟，有無最簡的方法？過程是否規(guī)范？答案是否正確？從而形成良好的解題習慣。
反思3數(shù)列是特殊的函數(shù)，用函數(shù)的性質研究數(shù)列的單調性是可行的，但當我們面臨陌生的函數(shù)（三次函數(shù)）不知道他的性質時，無法建立起聯(lián)系，用數(shù)學家玻利亞的一句話：“回到定義中去”。從而建立不等關系，當?shù)贸龅慕Y果與要求不一致時（如k>-2n-1），回到題目中去，對條件進行再一次解讀。從而轉化為不等式恒成立問題，因而揭示了數(shù)學的本質。
3、教后感悟
教的真諦在于導，學的成功在于悟，課堂教學的根本在于啟發(fā)學生如何去想，讓學生用內心創(chuàng)造與體驗來學習，將數(shù)學知識與學生的日常生活更好地糅合在一起。作為一線教師，就需要經常反思我們的教學，感悟教學的實質。
3.1加深學生對數(shù)列是特殊的函數(shù)的認識和理解。
自從20世紀初，在英國數(shù)學家貝利和德國數(shù)學家克萊因等人的大力倡導和推動下，函數(shù)進入了中學數(shù)學�？巳R因認為：“函數(shù)概念，應該成為數(shù)學教育的靈魂。以函數(shù)概念為中心，將全部數(shù)學教材集中在他周圍，進行充分的綜合。”因此，函數(shù)已成為高中數(shù)學的核心概念。高中數(shù)學必修5（北師大版）第一章《數(shù)列》第一節(jié)安排了“數(shù)列的函數(shù)特性”這一內容，以數(shù)列的單調性為主線，從定義和圖像兩個方面，讓學生認識數(shù)列是特殊的函數(shù)。那么只知道數(shù)列是自變量n是正整數(shù)，圖像是一些孤立點就行了嗎？如何讓學生進一步理解數(shù)列是特殊的函數(shù)呢？必須抓住兩個關鍵詞“函數(shù)”、“特殊性”。于是本文設計了三個問題：第一個問題的用意在于讓學生懂得數(shù)列與函數(shù)是相通的。體現(xiàn)數(shù)列的“函數(shù)性”。但數(shù)列又不等同于函數(shù)，通過問題2來體現(xiàn)它的“特殊性”。如果按二次函數(shù)的單調性來處理應選D，這是一個錯誤的答案，為什么呢？通過教師的引導，學生的探究，平移對稱軸來理解數(shù)列的“特殊性”，形成對數(shù)列是特殊的函數(shù)的意義建構。
3.2關注解題過程的自然生成。
依據(jù)數(shù)列的單調性的定義我們設計了問題1，學生能夠較容易的得出結果，我們并不急于出現(xiàn)問題2，而是讓學生與一次函數(shù)的單調性相比較，發(fā)現(xiàn)它們是相通的，使學生初步感受到數(shù)列是特殊的函數(shù)。接下來問題是通項公式是關于n的二次式，按照S2的解法沒有答案，我們并沒有立即告訴學生如何做（為下文埋下伏筆），而是讓他們用二次函數(shù)單調性的方法來解決，很快得出答案D，但這個答案是錯誤的，為什么呢？通過平移拋物線（運動變化的直觀演示有利于對知識形成意義建構）讓學生發(fā)現(xiàn)正確的答案。與二次函數(shù)的單調性解法相比較，體會數(shù)列的‘特殊性’。三次函數(shù)的圖像和性質對學生來說相對陌生，問題3又如何解呢？用波利亞的一句話：回到定義中去。這就會再次出現(xiàn)含有n的不等式，是巧合，還是有什么規(guī)律？這就不得不使學生來面對并解決這個問題。通過數(shù)列→函數(shù)→不等式，使他們之間有機的聯(lián)系起來，有利于形成知識組快，便于儲存和提取。如果一開始就告訴學生用數(shù)列→不等式來解決，不但失去了使學生經歷問題沖突→問題轉化→問題解決這一過程，而且也失去了對“數(shù)列是特殊的函數(shù)”認識與理解，更重要地失去了一次如何揭示數(shù)學本質的大好時機。
3.3落實新課標
新課標指出：“學生的數(shù)學學習活動不應該只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數(shù)學課程還應該倡導自主探究、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的方式，這些方式有助于發(fā)揮學生學習的主動性，使學生學習過程成為‘再創(chuàng)造’過程”。每上完一節(jié)課，我們都要回顧一下新課標落實情況。根據(jù)新課標精神，筆者概括出“三多”理念。即：多動多思多交流。多動就是動腦想一想，動手做一做，動筆畫一畫，動口說一說；多思就是想一想條件有什么用？想一想“輔助元”如何添？想一想過程如何寫？想一想解法如何優(yōu)？想一想解后有何得？多交流就是把自己的想法或做法與同學或老師經常交流，達到優(yōu)勢互補，形成對知識和方法的意義建構，更有利于提高自己的解題能力和對問題的理解能力。羅增儒教授指出：數(shù)學解題是一種創(chuàng)造性活動，誰也無法教會我們所有的題目，重要的是，通過有限道題的學習去領悟那種無限道題的數(shù)學機智。筆者認為，數(shù)學機智就是在“三多”中挖掘解題規(guī)律，揭示數(shù)學本質，進行適當轉化，實現(xiàn)有效的變通。
參考文獻
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5 羅增儒 解題分析,應該有“第二過程”的暴露 《中學數(shù)學教學參考》 2008。10
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