一種基于向量組線性關系理論的線性代數(shù)知識新體系
論文導讀:：指出了向量組線性關系理論的基本概念。在向量組線性關系理論基礎上重新建立了線性代數(shù)知識體系。這種知識體系同時考慮了學生的心理因素，按生活邏輯安排各個模塊的知識，便于提高學生接受能力。
論文關鍵詞：線性代數(shù)，線性關系，知識體系
線性代數(shù)這門課程有一個特點：各部分內(nèi)容相對獨立，整個課程呈現(xiàn)出一種塊狀結(jié)構(gòu)，原因是線性代數(shù)學科的形成過程本身就沒有一條明確的主線。內(nèi)容有行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值問題、二次型、線性空間與線性變換。我們幾乎可以找到從線性方程組、行列式、向量、矩陣、多項式、線性空間、線性變換中的任何一個分塊開始展開的教材，其展開過程主要取決于作者串聯(lián)這些分塊的形式邏輯的脈絡[1]。實際上，課程內(nèi)容的展開不僅取決于課程本身的邏輯，也應該充分考慮學生的接受能力的因素。行列式、矩陣運算和方程組求解通常都被認為容易被學生理解的內(nèi)容，而向量組的線性關系問題是線性代數(shù)的難點。通常的線性代數(shù)知識體系是按照由易到難道順序安排，這樣似乎可以漸進地接受難點，但實際上有以下幾個弊端：（1）由于難點出現(xiàn)的時間較遲，學生沒有機會對難點進行重復運用和消化理解就已經(jīng)進入課程的尾聲；（2）從心理上講，學生學習有先入為主的現(xiàn)象，最開始學到的知識最容易記住，因此難點后出現(xiàn)也不利于學生接受；（3）運用向量組的線性關系理論可以統(tǒng)領線性代數(shù)的重點內(nèi)容，如果不盡早引入這個理論，就不容易將塊狀結(jié)構(gòu)有機地結(jié)合起來。
1. 線性關系理論的基本概念及其表現(xiàn)
線性關系理論的基本概念包括：向量組的線性組合、向量的線性表示、向量組的線性相關性、向量組的線性無關性、向量組的最大無關組、向量組的秩等。
對任意一個向量組
，以這個向量組為列向量組構(gòu)造矩陣
,可以通過對實施初等行變換判別列向量組的線性相關性，進而獲得該向量組的最大無關組，同時可以獲得向量組中任意一個向量由最大無關組線性表示的表示系數(shù)，也可以獲得向量組的秩。可見，向量組的線性關系問題集中表現(xiàn)在矩陣的初等行變換過程中�？梢哉J為數(shù)學論文，矩陣的初等行變換過程是向量組線性關系理論的外在表現(xiàn)。
2. 基于線性關系理論的線性代數(shù)知識體系與關聯(lián)
線性代數(shù)中主要問題的解決都是通過解線性方程組實現(xiàn)的，可以說線性代數(shù)的核心內(nèi)容是線性方程組,而研究線性方程組及其解靠的是矩陣及其矩陣的初等行變換。因此，以線性方程組為出發(fā)點，可以為以后解決問題奠定基礎。
通過線性方程組可以引出矩陣概念，并引出矩陣的初等行變換方法，進一步引出向量概念，以及向量的線性運算和矩陣與向量乘法運算。在這些基本概念和運算的基礎上，線性方程組可以表示矩陣形式
和向量形式
，其中，是線性方程組的系數(shù)矩陣，為矩陣的列向量組，
是線性方程組的常數(shù)列向量[2]。
由向量形式方程組進一步討論向量組的線性關系理論，為深入研究和理解線性代數(shù)的其它問題提供理論基礎。從矩陣形式的方程組出發(fā)進一步討論矩陣運算，特別是在向量組的最大無關組和向量組的秩的概念下，矩陣的秩的定義變得很簡單，逆矩陣也很容易理解。行列式可以認為是方陣中的一個特殊概念，事實上，
階行列式也可以用個為向量定義[2]。在行列式和線性方程組概念下，很自然地討論矩陣的特征值和特征向量問題。二次型標準形問題則在特征值和特征向量概念基礎上處理。線性空間和線性變換則是向量方法和矩陣方法的升華[3]雜志網(wǎng)。
在這種知識體系下，向量和矩陣是線性代數(shù)的核心工具，矩陣的初等變換是代數(shù)的核心方法，而向量組的線性關系理論是核心理論。矩陣的初等變換這一方法不僅可用于求解線性方程組，他還可用于求矩陣的逆矩陣；求矩陣的秩；求向量組的極大無關組及其秩；求齊次線性方程組的基礎解系；求向量空間的基及維數(shù)；求特征向量；求實二次型的標準形等。而對于這些問題的理性認識則需要向量組的線性關系理論。
3. 知識體系展開的基本邏輯
怎樣設計線性代數(shù)課程的科學體系?這取決于我們對學科內(nèi)容的本質(zhì)的理解，對該學科在現(xiàn)代科學中的地位和作用的認識和課程的目標。在我國，理工科的線性代數(shù)教科書是把線性代數(shù)的各部分內(nèi)容作為工具來掌握，而忽視了這門學科最終形成的思想基石——空間與變換，因此這樣的課程并沒有真正跨進線性代數(shù)的思想殿堂，頂多只能視為矩陣運算的初級教程。而我國數(shù)學專業(yè)的高等代數(shù)課程又過分沉湎于形式化概念的邏輯體系構(gòu)建，而忽略了線性代數(shù)理論在現(xiàn)實生活中的鮮活背景和在現(xiàn)代科學技術(shù)中的應用前景，因此這樣的課程在學完之后也不易明白學習該課程的目的和意義，甚至以為僅僅是學習其他課程的前期準備[1]。
很多文獻([1][4][5])討論了線性代數(shù)的知識體系，但是學者們基本上只考慮知識體系本身，而忽略了學生學習的心理因素。線性代數(shù)的一個公認特點是內(nèi)容抽象，要真正掌握線性代數(shù)的原理與方法必須具備較強的抽象思維能力，即對形式概念的理解能力和形式邏輯的演繹能力，而這兩種能力要求幾乎超越了大多數(shù)學生在中學階段的能力儲備。面對抽象的課程內(nèi)容和復雜度知識體系，學生在學習數(shù)學課程時往往會產(chǎn)生焦慮情緒[7]。按照塊狀結(jié)構(gòu)安排線性代數(shù)的知識體系容易使學生產(chǎn)生焦慮情緒。
通常按照塊狀結(jié)構(gòu)安排線性代數(shù)的知識體系，便于教師理解，但是，學生很難建立塊狀結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系�；诰�性關系理論的線性代數(shù)知識體系是從學生認識能力出發(fā)數(shù)學論文，由現(xiàn)實世界的問題引出數(shù)學概念，使學生感到是因為解決現(xiàn)實的需要而學習新的數(shù)學概念、理論和方法。這種由現(xiàn)實問題到解決方法的邏輯關系稱為生活邏輯，而按照塊狀結(jié)構(gòu)形成的知識關系成為學科邏輯[7]。學科邏輯是出于本學科的研究者知識整理的需要，不適合向?qū)W生傳授知識。基于線性關系理論的線性代數(shù)知識體系的基本邏輯關系是按生活邏輯展開的。首先，學生容易認識線性方程組與現(xiàn)實的聯(lián)系，隨著解決線性方程組問題過程的深化，提出矩陣和向量概念；進一步，矩陣和向量等新的元素需要進行運算，因此分別討論向量運算（主要是線性關系理論和方法）和矩陣運算；具備了線性代數(shù)的核心工具（向量和矩陣）、核心方法（矩陣的初等變換）和核心理論（向量組的線性關系理論），就可以繼續(xù)討論特征值和特征向量，可以討論二次型，也可以討論線性空間和線性變換。整個線性代數(shù)知識是按照需求展開的，因此，很多過去塊狀結(jié)構(gòu)中的知識內(nèi)容（如矩陣、向量、線性方程組等）并非一次性的安排在一章之內(nèi)，而是在不同的章節(jié)中逐漸深入展開。這樣安排便于形成以矩陣初等變換為核心方法和向量組的線性關系理論為核心理論的主線，便于學生漸進理解線性代數(shù)的難點。
4. 結(jié)論
基于線性關系理論的線性代數(shù)知識體系將線性代數(shù)知識按生活邏輯展開，以向量和矩陣為核心工具，矩陣的初等變換為核心方法，以向量組的線性關系理論為核心理論，形成線性代數(shù)的知識主線。這種知識體系便于學生理解線性代數(shù)的難點，克服學習上的焦慮情緒。
參考文獻
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