淺述二維雙曲型方程的分組并行格式_
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論文導(dǎo)讀:：本文構(gòu)造了求解二維雙曲型方程
的初邊值問題的一組分組并行算法(GE、GEL、GER),格式的局部截?cái)嗾`差階一般為
,穩(wěn)定性條件為
.數(shù)值例子驗(yàn)證了理論結(jié)果.
論文關(guān)鍵詞：二維雙曲型方程，分組顯式格式:穩(wěn)定性:截?cái)嗾`差
0 引言
設(shè)數(shù)學(xué)模型為：
（1）
由于對(duì)此方程的計(jì)算具有極強(qiáng)的方向性且僅具有單邊邊界條件,故對(duì)二維雙曲型串行差分格式的并行化是一件很不容易的事情.從已有文獻(xiàn)看(見文[1]、[2]、[3]、[4]),尚未發(fā)現(xiàn)二維雙曲型方程的并行化格式.本文利用一個(gè)二維顯格式、兩個(gè)二維顯隱格式和一個(gè)二維隱格式構(gòu)造了一組分組顯式格式,格式的局部截?cái)嗾`差階一般為
,穩(wěn)定性條件為
.
1 構(gòu)造并行差分格式
設(shè)問題（1）的解
充分光滑,以
、
和
分別為
、
和
方向的網(wǎng)絡(luò)步長,其中:
,
,
為正整數(shù),在網(wǎng)點(diǎn)
處的網(wǎng)格函數(shù)
記為
,其近似值記為
.其中
為簡單起見,本文取
且
,則
,其中
.
下面針對(duì)
奇偶性數(shù)學(xué)建模論文，設(shè)計(jì)如下幾種分組并行的計(jì)算方法：
1.1 GE格式
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),為了設(shè)計(jì)分組并行差分格式,用如下的四個(gè)格式構(gòu)造逼近式(1)的并行差分方程組:
（2）
其中
于是在第
時(shí)間層上的4個(gè)函數(shù)值可由第
時(shí)間層上的8個(gè)函數(shù)值顯式地進(jìn)行計(jì)算：
即： 
（7）
其中：
；
；
(8)
將式(3)、(4)、(5)、(6)分別在
、
、
、
處進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開(見文[5])得它們的局部截?cái)嗾`差分別為:
(9)
(10)
(11)
(12)
其中:
.
我們可將每一時(shí)間層上的節(jié)點(diǎn)（除左邊界點(diǎn)和下邊界點(diǎn)外）按
、
、
、
（其中：
）四個(gè)相鄰點(diǎn)組成一組,共分為
組.并對(duì)每組都使用GE格式(2).且可顯式表示為：
(13)
其中：
；
；
；
(14)
1.2 GEL格式
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),在靠近下邊界的每兩個(gè)內(nèi)點(diǎn)
、
（
）組成一組,采用式(2)中的第一式和第二式;在靠近左邊界的每兩個(gè)內(nèi)點(diǎn)
、
（
）組成一組,采用式(2)中的第一式和第三式;在
點(diǎn)采用式(2)中的第一式;在其余
個(gè)節(jié)點(diǎn)處反復(fù)使用GE格式(2),就得GEL格式,其矩陣形式為:
(15)
其中：
;
;
;
;
;
；
；
；
；
；
； 
；
、
、
同前所述. (16)
1.3 GER格式
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),在右邊界上的每兩個(gè)內(nèi)點(diǎn)
、
（其中：
）組成一組,采用式(2)中的第一式和第三式;在上邊界上的每兩個(gè)內(nèi)點(diǎn)
、
(其中：
)組成一組,采用式(2)中的第一式和第二式;在
點(diǎn)采用式(2)中的第一式;在其余
個(gè)節(jié)點(diǎn)處反復(fù)使用GE格式(2),就得GER格式,其矩陣形式為:
(17)
其中:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
同前所述. (18)
由(9)—(12)式可得：
定理1 當(dāng)
且
時(shí),式(13) 、式(15) 、式(17)的精度一般為
.
2 穩(wěn)定性分析
我們首先對(duì)GE格式的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，由式(13)的增長矩陣的特征方程可得：
(19)
則：
(20)
從而：
(21)
其中：
（
為特征值） (22)
因
是一個(gè)下三角行列式,故顯然有:
且
解得:
又當(dāng)
時(shí), 
,
從而:
遞推可知：
對(duì)
有界.
從而可得:
定理2 GE格式(13)的穩(wěn)定性條件為
類似可得:
定理3 當(dāng)取
時(shí),GEL格式(15)、GER格式(17)是穩(wěn)定的.
3 數(shù)值例子
考慮二維雙曲型方程初邊值問題:
(23)
它的精確解為:
.
以下數(shù)值例子取
對(duì)GE格式取
，對(duì)GEL、GER格式取
.
表1 并行格式GE、GEL、GER的誤差(
)
|
格式 誤差 |
(0.4,0.4) |
(0.4,0.8) |
(0.4,1.2) |
(0.8,0.4) |
(0.8,0.8) |
(0.8,1.2) |
(1.2,0.4) |
(1.2,0.8) |
(1.2,1.2) |
|
|
GE |
絕對(duì)誤差 |
2.935e-002 |
3.279e-002 |
2.345e-002 |
3.279e-002 |
3.727e-002 |
1.694e-002 |
2.345e-002 |
1.694e-002 |
1.601e-002 |
|
相對(duì)誤差 |
3.031e-002 |
3.818e-002 |
3.774e-002 |
3.818e-002 |
6.133e-002 |
6.062e-002 |
3.774e-002 |
6.062e-002 |
1.930e-002 |
|
|
GEL |
絕對(duì)誤差 |
2.337e-002 |
2.788e-002 |
2.026e-002 |
2.788e-002 |
3.397e-002 |
1.582e-002 |
2.026e-002 |
1.582e-002 |
1.493e-002 |
|
相對(duì)誤差 |
2.399e-002 |
3.228e-002 |
3.243e-002 |
3.228e-002 |
5.560e-002 |
5.638e-002 |
3.243e-002 |
5.638e-002 |
1.777e-001 |
|
|
GER |
絕對(duì)誤差 |
1.648e-002 |
1.997e-002 |
1.695e-002 |
9.926e-003 |
3.196e-003 |
8.515e-004 |
4.054e-002 |
4.626e-002 |
5.072e-002 |
|
相對(duì)誤差 |
1.679e-002 |
2.291e-002 |
2.700e-002 |
1.101e-002 |
4.931e-003 |
2.865e-003 |
5.915e-002 |
1.350e-001 |
2.274e-001 |
|
以上數(shù)值例子驗(yàn)證了理論分析的正確性,表明了本文的格式可行性與有效性.
參考文獻(xiàn)：
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