淺談物理學(xué)中臨界問題
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物理學(xué)中臨界問題
論文關(guān)鍵詞：物理學(xué),臨界
一般解決臨界問題有兩種基本方法：
1.演繹法：以原理、定理和定律為依據(jù)，先找出所研究問題的一般規(guī)律和一般解，然后分析討論其特殊規(guī)律和特殊解，即采用從一般到特殊的推理方法。
2.臨界法:以原理、定理或定律為依據(jù)，直接從臨界狀態(tài)和相應(yīng)的臨界量入手，求出所研究問題的特殊規(guī)律和特殊解，以此對(duì)一般情況進(jìn)行分析討論和推理，即采用林特殊到一般的推理方法。
由于臨界狀態(tài)比一般狀態(tài)簡(jiǎn)單，故解決臨界問題時(shí)用臨界法比演繹法簡(jiǎn)捷。在找臨界狀態(tài)和臨界量時(shí)，常常用到極限分析法：即通過恰當(dāng)?shù)剡x取某個(gè)物理量（臨界物理量）推向極端（“極大”和“極小”，“極左”和“極右”等），從而把隱蔵的臨界現(xiàn)象（或“各種可能性”）暴露出來，找到解決問題的“突破口”。因此，先分析臨界條件
題1 如圖所示，細(xì)桿的一端與一小球相連，可繞過O點(diǎn)的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。現(xiàn)給小球一初速度，使它做圓周運(yùn)動(dòng)，圖中a、b分別表示小球軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，則桿對(duì)球的作用力可能是
A．
處為拉力，
為拉力
B．處為拉力，為推力
C．處為推力，為拉力
D．處為推力，為推力
解析 因?yàn)閳A周運(yùn)動(dòng)的物體，向心力指向圓心，小球在最低點(diǎn)時(shí)所需向心力沿桿由a指向O，向心力是桿對(duì)小球的拉力與小球重力的合力，而重力方向向下，故桿必定給球向上的拉力，小球在最高點(diǎn)時(shí)若桿恰好對(duì)球沒有作用力，即小球的重力恰好對(duì)球沒有作用力，即小球的重力恰好提供向心力，設(shè)此時(shí)小球速度為vb，則：mg = m vb =
當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度v＞vb時(shí)，所需的向心力F＞mg，桿對(duì)小球有向下的拉力；若小球的速度v＜vb時(shí)，桿對(duì)小球有向上推力，故選A、B正確
評(píng)析 本題關(guān)鍵是明確越過臨界狀態(tài)vb = 時(shí)，桿對(duì)球的作用力方向?qū)l(fā)生變化。
題2 在光滑的水平軌道上有兩個(gè)半徑都是r的小球A和B，質(zhì)量分別為m和2m，當(dāng)兩球心間距離大于L（L比2r大得多）時(shí)，兩球之間無相互作用力；當(dāng)兩球心間距離等于或小于L時(shí)，兩球間存在相互作用的恒定斥力F。設(shè)A球從遠(yuǎn)離B球處以速度v0沿兩球連心線向原來靜止的B球運(yùn)動(dòng)，如圖所示，欲使兩球不發(fā)生接觸，v0必須滿足什么條件
解析 據(jù)題意，當(dāng)A、B兩球球心間距離小于L時(shí)，兩球間存在相互作用的恒定斥力F。故A減速而B加速。當(dāng)vA＞vB時(shí)，A、B間距離減��；當(dāng)vA＜vB時(shí)，A、B間距離增大。可見，當(dāng)vA = vB時(shí)，A、B相距最近。若此時(shí)A、B間距離x＞2r，則A、B不發(fā)生接觸（圖12-3）。上述狀態(tài)即為所尋找的臨界狀態(tài)，vA = vB時(shí)x＞2r則為臨界條件。
兩球不接觸的條件是：vA = vB （1）
L+sB−sA>2r （2）
其中vA、vB為兩球間距離最小時(shí)，A、B球的速度；sA、sB為兩球間距離從L變至最小的過程中，A、B球通過的路程。
設(shè)v0為A球的初速度，由動(dòng)量守恒定律得：m v0 = mvA + 2mvB （3）
由動(dòng)能定律得 F ∙ sA = mv02 − mvA2 （4）
F ∙ sB = (2m)vB2 （5）
聯(lián)立解得：v0＜
評(píng)析 本題的關(guān)鍵是正確找出兩球“不接觸”的臨界狀態(tài)，為vA = vB且此時(shí)x＞2r
題3 一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m電量為q，以平行于ox軸的速度v從y軸上的a點(diǎn)射入圖示的第Ⅰ象限區(qū)域，為了使該質(zhì)點(diǎn)能從x軸上的b點(diǎn)以垂直于ox軸的速度射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋�(gè)垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑. 重力忽略不計(jì).
【分析】帶電粒子以速度v，沿垂直于磁場(chǎng)方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)B時(shí)，在洛侖茲力作用下，帶電粒子將做勻速圓周運(yùn)動(dòng).為了保證帶電粒子能從b點(diǎn)垂直于ox軸出射，帶電粒子必須偏轉(zhuǎn)90º角，即粒子在磁場(chǎng)中只能運(yùn)動(dòng)1 / 4圓周，而且磁場(chǎng)也不可能充滿坐標(biāo)中的第一象限.所加圓形磁場(chǎng)區(qū)域最小的含義，應(yīng)理解為能使帶電粒子完成1 / 4圓周運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)范圍剛好能覆蓋帶電粒子的軌跡——即1 / 4圓周.
【示范解答】帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)前做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓的半徑：
根據(jù)向心力公式：qBv = m
得 R =
圓心在O1點(diǎn)，如圖15−5−2所示.從圖中可以知道：連接這1 / 4圓弧兩個(gè)端點(diǎn)的線段就時(shí)最小圓形磁場(chǎng)區(qū)域的直徑.最小磁場(chǎng)區(qū)域的半徑為：
r = =
【點(diǎn)評(píng)】為達(dá)到控制帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的目的而設(shè)置一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的問題，著重考查的是逆向思維的能力.在科研實(shí)踐當(dāng)中，這類設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)條件的問題是經(jīng)常遇到的，因此這類題目具有實(shí)際研究的意義，它必然是一種重要的習(xí)題類型，它不僅考查了學(xué)生對(duì)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)規(guī)律掌握的熟練程度，而且考查了學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的能力.
評(píng)析 臨界值可能以極值形式出現(xiàn)，也可能是邊界值（即最大值和最小值）此題中最小值是利用幾何知識(shí)判斷而得到的。A、B兩點(diǎn)及AB圓弧分別是磁場(chǎng)的邊界點(diǎn)和磁場(chǎng)內(nèi)的一段弧，是尋找最小圓形磁場(chǎng)區(qū)域的依據(jù)。
題4 圓筒形的薄壁玻璃容器中，盛滿某種液體，容器底部外面有光源S，試問液體折射率至少為多少時(shí)，才不能通過容器壁在筒外看到光源S（壁厚不計(jì)）。
解析 要在容器外空間看不到光源S，即要求光源S進(jìn)入液體后，射向容器壁光線的入射角≥C（臨界角），如圖所示，由折射定律可知
N = sinC = （1）
由圖可知 + = 90˚ ，≥C ， ≤ 90˚ − C （2）
在A點(diǎn)入射處，由折射定律有
n = = =
所以 cosC = （3）
由（1）（3）兩式可知C = 45˚，n = =
由（2）式可知： 越小越好，臨界角C也是越小越好：由sinC = 可知，n越大，C越��；而由n = 可知，當(dāng) i 一定時(shí)，n越大， 越小。
所以液體的折射率n≥
評(píng)析 本題臨界條件有兩個(gè)，當(dāng)折射角為90°時(shí)的入射角為臨界角C和當(dāng)入射角為90°時(shí)最大。一般幾何光學(xué)中習(xí)題涉及前一個(gè)臨界條件的較多，涉及后一個(gè)臨界條件的較少。而求出折射率的臨界值為，還要進(jìn)一步利用（3）式進(jìn)行討論n的范圍。該題的分析方法是從結(jié)果利用臨界值C，采取倒推的方法來求解。一般來講，凡是求范圍的物理問題都會(huì)涉及臨界條件。
題5．長(zhǎng)為6L質(zhì)量為6m的勻質(zhì)繩，置于特制的水平桌面上，繩的一端懸垂于桌邊外，另一端系有一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為M的木塊，如圖所示。
木塊在AB段與桌面無摩擦在BE段與桌面有摩擦，勻質(zhì)繩與桌面的摩擦可忽略。初始時(shí)刻用手按住木塊使其停在A處，繩處于繃緊狀態(tài)，AB=BC=CD=DE=L，放手后，木塊最終停在C處。桌面距地面高度大于6L。
�。�1）求木塊剛滑至B點(diǎn)時(shí)的速度v和木塊與BE段的動(dòng)摩因數(shù)μ；
�。�2）若木塊在BE段與桌面的動(dòng)摩擦因數(shù)變?yōu)?img onload="if(this.width>600) this.width=600" src="/images-w/news_dt/2016-04/20160407-383-184431.png" alt="物理學(xué)中臨界問題" />，則木塊最終停在何處？
�。�3）是否存在一個(gè)μ值，能使木塊從A處放手后，最終停在E處，且不再運(yùn)動(dòng)？若能，求出該μ值；若不能，簡(jiǎn)要說明理由。
解：（1）木塊從A處釋放后滑至B點(diǎn)的過程中
由機(jī)械能守恒得
①
則木塊滑至B點(diǎn)時(shí)的速度
②
木塊從A處滑至C點(diǎn)的過程中，由功能關(guān)系得
③
由③式得 
④
�。�2）若
，設(shè)木塊能從B點(diǎn)向右滑動(dòng)x最終停止，由功能關(guān)系得
⑤
將
代入⑤式并整理得 
解得x=2L （x=2.5L不合題意舍去）
即木塊將從B點(diǎn)再滑動(dòng)2L最終停在D處。
（3）不存在符合要求的μ值，即不可能使木塊從A處放手后最終停在E處且不再運(yùn)動(dòng)。
解法一：這是由于當(dāng)
時(shí)，若木塊滑至E點(diǎn)，恰好有
，此時(shí)繩全部懸于桌邊外，對(duì)木塊的拉力恰好也為6mg，而從（2）的結(jié)果知，要使木塊繼續(xù)向E點(diǎn)滑行，必須再減小μ值 ，因而木塊尚未滑至E點(diǎn)時(shí)，木塊所受滑動(dòng)摩擦力已與懸繩拉力相等，此時(shí)，再向E點(diǎn)滑行時(shí)，懸繩對(duì)木塊拉力將大于木塊受到的滑動(dòng)摩擦力而使合力向右木塊又重新獲得加速度。因此不可能保持靜止?fàn)顟B(tài)。
解法二：設(shè)滿足此條件的動(dòng)摩擦因數(shù)為
，有：
因?yàn)椋?img onload="if(this.width>600) this.width=600" src="/images-w/news_dt/2016-04/20160407-396-184431.png" alt="物理學(xué)" />，所以滿足此條件的動(dòng)摩擦因數(shù)不存在。
評(píng)析 本題第（3）問中的第一種解法中木塊滑至臨界點(diǎn)E點(diǎn)的條件是，再分析討論結(jié)果與題意出現(xiàn)了矛盾，即得出結(jié)論滿足此條件的動(dòng)摩擦因數(shù)不存在。
綜上所述：解答臨界問題的關(guān)鍵是找臨界條件。
許多臨界問題，題干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脫離”……等詞語對(duì)臨界狀態(tài)給出了明確的暗示，審題時(shí)，一定要抓住這些特定的詞語發(fā)掘其內(nèi)含規(guī)律，找出臨界條件。
臨界問題通常具有一定的隱蔽性，解題靈活性較大，審題時(shí)應(yīng)力圖還原習(xí)題的物理情景，抓住臨界狀態(tài)的特征，找到正確的解題方向。
