探析Rayleigh-Bénard對(duì)流初值敏感度模擬
2016-04-14 13:51:43 安裝信息網(wǎng)
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論文摘要：通過建立自由界面的Rayleigh-bénard對(duì)流模型，數(shù)值模擬得到了具有不同渦數(shù)的bénard花胞的穩(wěn)定二維流場(chǎng)。研究中分別以正反向2、3渦的bénard流動(dòng)作為初始值，在對(duì)應(yīng)相同工況下做數(shù)值模擬計(jì)算，結(jié)果驗(yàn)證了不同初始值對(duì)穩(wěn)定bénard花胞的形成無影響。
論文關(guān)鍵詞：數(shù)值模擬,對(duì)流,花胞
0引言
Rayleigh-Bénard實(shí)驗(yàn)是流體力學(xué)的一個(gè)重要實(shí)驗(yàn)。當(dāng)從下面加熱某一流體薄層，當(dāng)流體中的溫度梯度超過某一臨界值時(shí)，原來靜止的流體中會(huì)突然出現(xiàn)許多規(guī)則的六角形對(duì)流格子、。此對(duì)流花紋最早于1901年由Bénard在他的實(shí)驗(yàn)中觀察到的，故命名為Bénard花胞。1916年，Rayleigh在理論上進(jìn)行了描述。Rayleigh-Bénard對(duì)流亦存在層流、流動(dòng)穩(wěn)定性等問題及層流向湍流的轉(zhuǎn)捩、湍流對(duì)流等狀態(tài)。其判別流動(dòng)狀態(tài)的參數(shù)是Ra。在對(duì)Rayleigh-Bénard實(shí)驗(yàn)研究中，產(chǎn)生了很多有價(jià)值科學(xué)成果，但是很少有關(guān)于Bénard現(xiàn)象對(duì)初值的敏感度的研究。對(duì)于同一個(gè)實(shí)驗(yàn)條件，分別給予不同的、甚至是流動(dòng)方向完全相反的初值，對(duì)該系統(tǒng)最終形成的Bénard花胞的形態(tài)有沒有影響？本研究擬通過數(shù)值模擬的方法來探求這一謎底。
1．模型建立
本研究中所采用的Bénard實(shí)驗(yàn)的物理模型為：一厚度為H，寬度為L(zhǎng)的水平流體薄層，均勻地從底部加熱，兩側(cè)壁絕熱，上表面為自由表面。流體為不可壓縮牛頓流體，其物性已知，滿足Boussnessqi假設(shè)。對(duì)本課題所研究的問題，采用了中心格子系統(tǒng)和有限體積法離散控制方程，采用SIMPL方法求解方程，并應(yīng)用計(jì)算機(jī)語言Fortran進(jìn)行編程。在交錯(cuò)網(wǎng)格中，兩鄰近節(jié)點(diǎn)間的壓力差是位于這兩結(jié)點(diǎn)之間的速度分量的自然驅(qū)動(dòng)力，速度-壓力的耦合采用HSMAC算法。網(wǎng)格劃分采用正弦函數(shù)分割的非均勻網(wǎng)格。
無因次控制方程如下：
其中，
稱為普朗特?cái)?shù)，是一個(gè)無因次參數(shù)，而
也是一個(gè)無因次量，稱為瑞利數(shù)。式中，
為流體垂直方向的溫度梯度,
為下板溫度，
為上板的溫度，h為兩板之間的距離，
為流體的熱膨脹系數(shù),K為熱擴(kuò)散系數(shù),
0為運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)。
邊界條件為：
邊界條件：
在上邊界：
，Vx=0，
在下邊界：
，Vx=0，
在兩側(cè)壁上，有：Vz=0，
。
2．Bénard流動(dòng)的初值敏感度
在大量的數(shù)值模擬結(jié)果中，我們得到了寬度為L(zhǎng)的無限長(zhǎng)平板上厚度為H的流體，在底部定溫加熱的情況下，流體的過流斷面上出現(xiàn)2、3、4以及更多渦的穩(wěn)定的工況，這些穩(wěn)定工況分別出現(xiàn)在流場(chǎng)長(zhǎng)高比L/h=2，3，4，Gr=1x106，4x105，4x105的情況下。數(shù)值模擬過程所采用網(wǎng)格分別為60x30，90x30，120x30，時(shí)間步長(zhǎng)為103，網(wǎng)格劃分和時(shí)間步長(zhǎng)經(jīng)過驗(yàn)證是合適的。這些穩(wěn)定流場(chǎng)是我們獲得Rayleigh-Bénard對(duì)流現(xiàn)象對(duì)初值敏感度研究的基礎(chǔ)條件。下面我們將以流體過流斷面上出現(xiàn)2、3個(gè)渦的Bénard工況來分析這一問題。在實(shí)際工作中，我們還對(duì)4個(gè)及以上渦的Rayleigh-Bénard對(duì)流工況做過相同的研究，結(jié)論一致。
2．12個(gè)渦Bénard花胞
2個(gè)渦的Bénard花胞，是瞬時(shí)呈現(xiàn)在穩(wěn)定Rayleigh-Bénard流動(dòng)中流體過流斷面上的。2渦花胞不僅在空間上有序，而且在時(shí)間上有序。在實(shí)際模擬過程中，我們以0初值或任意正向初值為初始值做Bénard流動(dòng)的數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)流場(chǎng)在初始的一段時(shí)間流動(dòng)很紊亂，后續(xù)將并不隨時(shí)間而發(fā)生變化。為了監(jiān)視流場(chǎng)中的流動(dòng)情況，在計(jì)算域中心設(shè)置了監(jiān)視點(diǎn)，并且該點(diǎn)流動(dòng)的速度，壓強(qiáng)、溫度等參數(shù)隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)通過計(jì)算程序連續(xù)輸出。從監(jiān)視點(diǎn)速度隨時(shí)間變化圖，可以看出隨著時(shí)間的推進(jìn)監(jiān)測(cè)點(diǎn)速度很快便不再隨時(shí)間而變化，流動(dòng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。
為了更加有效和準(zhǔn)確的測(cè)定Bénard流動(dòng)對(duì)流場(chǎng)初值的敏感度，需要使用大量不同初值對(duì)同一工況進(jìn)行對(duì)比性的模擬實(shí)驗(yàn)。在眾多可以作為初值的瞬時(shí)流場(chǎng)數(shù)據(jù)中兩個(gè)大小、形態(tài)完全相同，而轉(zhuǎn)動(dòng)方向完全相反的初值對(duì)Bénard對(duì)流產(chǎn)生影響的兩組對(duì)比試驗(yàn)是最具說明價(jià)值的。在2渦Bénard對(duì)流的數(shù)值模擬過程中，我們已經(jīng)得到了一個(gè)穩(wěn)定流場(chǎng)，此流場(chǎng)是我們?cè)?渦Bénard對(duì)流試驗(yàn)中的第一組研究所得到的穩(wěn)定結(jié)果。其結(jié)果作為本次對(duì)比研究的參照流場(chǎng)1。為了得到與參照流場(chǎng)一流動(dòng)完全相反，而其他特征又完全相同的流場(chǎng)來作為對(duì)比研究中另一組研究的反向初始流場(chǎng)值，我們通過fortran自編的程序人為創(chuàng)造了一個(gè)瞬時(shí)流場(chǎng)二，并作為對(duì)比模擬工況第二組研究的反向初始值，在與工況一完全相同的參數(shù)設(shè)定情況下做第二組的數(shù)值模擬。
以反向流場(chǎng)作為初值的第二組模擬研究中，可以看出流場(chǎng)在呈現(xiàn)較長(zhǎng)時(shí)間的紊亂后，便不在變化，第二組試驗(yàn)研究已經(jīng)達(dá)到了穩(wěn)定的狀態(tài)。通過在實(shí)際模擬中對(duì)流體的觀察發(fā)現(xiàn)了流體過流斷面上流場(chǎng)隨時(shí)間的推移而變化的過程，在前103的時(shí)間內(nèi)流場(chǎng)始終是和初值的方向形態(tài)保持著較高的一致性，不久之后流場(chǎng)開始出現(xiàn)流動(dòng)紊亂，時(shí)刻1300-1600的流場(chǎng)不僅流動(dòng)紊亂，而且局部區(qū)域已經(jīng)出現(xiàn)方向反轉(zhuǎn)，尤其是中心軸上向上和向下的方向交混著。 一定時(shí)間后，流場(chǎng)完全反轉(zhuǎn)，但是時(shí)刻2000-2300的流場(chǎng)顯示出此時(shí)的流場(chǎng)流動(dòng)沒有規(guī)律性，依然是混亂狀態(tài)。在經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間的調(diào)整后出現(xiàn)了和初值完全相反完全的渦流方向，并最終達(dá)到穩(wěn)定的狀態(tài)。值得注意的是，在前述已提及的以0初值或任意正向初值的第一組模擬中得到的穩(wěn)定態(tài)，圖4a所示的穩(wěn)定流場(chǎng)，和第二組初值反轉(zhuǎn)的模擬獲得的穩(wěn)定態(tài)方向是完全一致的。
2．23個(gè)渦Bénard花胞
在穩(wěn)定流場(chǎng)中，3渦Bénard花胞也被獲取了。同樣，為了驗(yàn)證此工況下，Bénard流動(dòng)對(duì)初值的敏感程度，我們通過程序?qū)崿F(xiàn)了對(duì)順向穩(wěn)定流場(chǎng)的反轉(zhuǎn)，人為制作逆向的穩(wěn)定流場(chǎng)流場(chǎng)，并把它作為初始值，投入到相同計(jì)算參數(shù)的數(shù)值模擬中。在模擬前期，流場(chǎng)非常的紊亂，但經(jīng)過不久的一段時(shí)間就發(fā)現(xiàn)流場(chǎng)方向回歸了，其表現(xiàn)形式與順向穩(wěn)定流場(chǎng)已無太大差別，只是還未穩(wěn)定，經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間后，流場(chǎng)穩(wěn)定，流動(dòng)方向?yàn)轫樝颉?br> 3結(jié)論：
在本研究中，通過大量的數(shù)值模擬，獲得了不同渦數(shù)的穩(wěn)定Bénard流場(chǎng)，并分別用各種不同初值來驗(yàn)證Bénard流動(dòng)對(duì)初值的敏感程度。在本文中，通過給予各工況一對(duì)流動(dòng)方向完全相反的初值后分別進(jìn)行數(shù)值模擬。在不同工況下得到了驚人一致的結(jié)論：Bénard流動(dòng)在特定工況下，穩(wěn)定的流動(dòng)方向是唯一的，它不受初始值的影響。該結(jié)論加深了人們對(duì)Bénard流動(dòng)的認(rèn)識(shí)。本研究是數(shù)值模擬方法在Bénard問題上的成功應(yīng)用。
參考文獻(xiàn)
1 Behringer R P. Rayleigh-Bénard convection and turbulence in liquid helium[J]. Rev Mod Phys,1985,57(3):Part 1,657-687
2 Kraichnan R H. Turbulent thermal convection at arbitrary Prandtl number[J]. PhysFluids,1962,5:1373-1389
3 Townsend A A . Temperature fluctuations over a surface[J]. J Fluid Mech.,1959,5:209-241
4 Rapaport D C. Time dependent patterns in atomistic ally simulated convection [J]. Phys. Rev.,A43, 7046-7048
5 曾丹芩. 工程非平衡熱動(dòng)力學(xué)[M]. 北京:科學(xué)出版社, 1991.
論文關(guān)鍵詞：數(shù)值模擬,對(duì)流,花胞
0引言
Rayleigh-Bénard實(shí)驗(yàn)是流體力學(xué)的一個(gè)重要實(shí)驗(yàn)。當(dāng)從下面加熱某一流體薄層，當(dāng)流體中的溫度梯度超過某一臨界值時(shí)，原來靜止的流體中會(huì)突然出現(xiàn)許多規(guī)則的六角形對(duì)流格子、。此對(duì)流花紋最早于1901年由Bénard在他的實(shí)驗(yàn)中觀察到的，故命名為Bénard花胞。1916年，Rayleigh在理論上進(jìn)行了描述。Rayleigh-Bénard對(duì)流亦存在層流、流動(dòng)穩(wěn)定性等問題及層流向湍流的轉(zhuǎn)捩、湍流對(duì)流等狀態(tài)。其判別流動(dòng)狀態(tài)的參數(shù)是Ra。在對(duì)Rayleigh-Bénard實(shí)驗(yàn)研究中，產(chǎn)生了很多有價(jià)值科學(xué)成果，但是很少有關(guān)于Bénard現(xiàn)象對(duì)初值的敏感度的研究。對(duì)于同一個(gè)實(shí)驗(yàn)條件，分別給予不同的、甚至是流動(dòng)方向完全相反的初值，對(duì)該系統(tǒng)最終形成的Bénard花胞的形態(tài)有沒有影響？本研究擬通過數(shù)值模擬的方法來探求這一謎底。
1．模型建立
本研究中所采用的Bénard實(shí)驗(yàn)的物理模型為：一厚度為H，寬度為L(zhǎng)的水平流體薄層，均勻地從底部加熱，兩側(cè)壁絕熱，上表面為自由表面。流體為不可壓縮牛頓流體，其物性已知，滿足Boussnessqi假設(shè)。對(duì)本課題所研究的問題，采用了中心格子系統(tǒng)和有限體積法離散控制方程，采用SIMPL方法求解方程，并應(yīng)用計(jì)算機(jī)語言Fortran進(jìn)行編程。在交錯(cuò)網(wǎng)格中，兩鄰近節(jié)點(diǎn)間的壓力差是位于這兩結(jié)點(diǎn)之間的速度分量的自然驅(qū)動(dòng)力，速度-壓力的耦合采用HSMAC算法。網(wǎng)格劃分采用正弦函數(shù)分割的非均勻網(wǎng)格。
無因次控制方程如下：
其中，
稱為普朗特?cái)?shù)，是一個(gè)無因次參數(shù)，而也是一個(gè)無因次量，稱為瑞利數(shù)。式中，
為流體垂直方向的溫度梯度,為下板溫度，為上板的溫度，h為兩板之間的距離，為流體的熱膨脹系數(shù),K為熱擴(kuò)散系數(shù),0為運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)。邊界條件為：
邊界條件：
在上邊界：
，Vx=0，在下邊界：
，Vx=0，在兩側(cè)壁上，有：Vz=0，
。2．Bénard流動(dòng)的初值敏感度
在大量的數(shù)值模擬結(jié)果中，我們得到了寬度為L(zhǎng)的無限長(zhǎng)平板上厚度為H的流體，在底部定溫加熱的情況下，流體的過流斷面上出現(xiàn)2、3、4以及更多渦的穩(wěn)定的工況，這些穩(wěn)定工況分別出現(xiàn)在流場(chǎng)長(zhǎng)高比L/h=2，3，4，Gr=1x106，4x105，4x105的情況下。數(shù)值模擬過程所采用網(wǎng)格分別為60x30，90x30，120x30，時(shí)間步長(zhǎng)為103，網(wǎng)格劃分和時(shí)間步長(zhǎng)經(jīng)過驗(yàn)證是合適的。這些穩(wěn)定流場(chǎng)是我們獲得Rayleigh-Bénard對(duì)流現(xiàn)象對(duì)初值敏感度研究的基礎(chǔ)條件。下面我們將以流體過流斷面上出現(xiàn)2、3個(gè)渦的Bénard工況來分析這一問題。在實(shí)際工作中，我們還對(duì)4個(gè)及以上渦的Rayleigh-Bénard對(duì)流工況做過相同的研究，結(jié)論一致。
2．12個(gè)渦Bénard花胞
2個(gè)渦的Bénard花胞，是瞬時(shí)呈現(xiàn)在穩(wěn)定Rayleigh-Bénard流動(dòng)中流體過流斷面上的。2渦花胞不僅在空間上有序，而且在時(shí)間上有序。在實(shí)際模擬過程中，我們以0初值或任意正向初值為初始值做Bénard流動(dòng)的數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)流場(chǎng)在初始的一段時(shí)間流動(dòng)很紊亂，后續(xù)將并不隨時(shí)間而發(fā)生變化。為了監(jiān)視流場(chǎng)中的流動(dòng)情況，在計(jì)算域中心設(shè)置了監(jiān)視點(diǎn)，并且該點(diǎn)流動(dòng)的速度，壓強(qiáng)、溫度等參數(shù)隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)通過計(jì)算程序連續(xù)輸出。從監(jiān)視點(diǎn)速度隨時(shí)間變化圖，可以看出隨著時(shí)間的推進(jìn)監(jiān)測(cè)點(diǎn)速度很快便不再隨時(shí)間而變化，流動(dòng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。
為了更加有效和準(zhǔn)確的測(cè)定Bénard流動(dòng)對(duì)流場(chǎng)初值的敏感度，需要使用大量不同初值對(duì)同一工況進(jìn)行對(duì)比性的模擬實(shí)驗(yàn)。在眾多可以作為初值的瞬時(shí)流場(chǎng)數(shù)據(jù)中兩個(gè)大小、形態(tài)完全相同，而轉(zhuǎn)動(dòng)方向完全相反的初值對(duì)Bénard對(duì)流產(chǎn)生影響的兩組對(duì)比試驗(yàn)是最具說明價(jià)值的。在2渦Bénard對(duì)流的數(shù)值模擬過程中，我們已經(jīng)得到了一個(gè)穩(wěn)定流場(chǎng)，此流場(chǎng)是我們?cè)?渦Bénard對(duì)流試驗(yàn)中的第一組研究所得到的穩(wěn)定結(jié)果。其結(jié)果作為本次對(duì)比研究的參照流場(chǎng)1。為了得到與參照流場(chǎng)一流動(dòng)完全相反，而其他特征又完全相同的流場(chǎng)來作為對(duì)比研究中另一組研究的反向初始流場(chǎng)值，我們通過fortran自編的程序人為創(chuàng)造了一個(gè)瞬時(shí)流場(chǎng)二，并作為對(duì)比模擬工況第二組研究的反向初始值，在與工況一完全相同的參數(shù)設(shè)定情況下做第二組的數(shù)值模擬。
以反向流場(chǎng)作為初值的第二組模擬研究中，可以看出流場(chǎng)在呈現(xiàn)較長(zhǎng)時(shí)間的紊亂后，便不在變化，第二組試驗(yàn)研究已經(jīng)達(dá)到了穩(wěn)定的狀態(tài)。通過在實(shí)際模擬中對(duì)流體的觀察發(fā)現(xiàn)了流體過流斷面上流場(chǎng)隨時(shí)間的推移而變化的過程，在前103的時(shí)間內(nèi)流場(chǎng)始終是和初值的方向形態(tài)保持著較高的一致性，不久之后流場(chǎng)開始出現(xiàn)流動(dòng)紊亂，時(shí)刻1300-1600的流場(chǎng)不僅流動(dòng)紊亂，而且局部區(qū)域已經(jīng)出現(xiàn)方向反轉(zhuǎn)，尤其是中心軸上向上和向下的方向交混著。 一定時(shí)間后，流場(chǎng)完全反轉(zhuǎn)，但是時(shí)刻2000-2300的流場(chǎng)顯示出此時(shí)的流場(chǎng)流動(dòng)沒有規(guī)律性，依然是混亂狀態(tài)。在經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間的調(diào)整后出現(xiàn)了和初值完全相反完全的渦流方向，并最終達(dá)到穩(wěn)定的狀態(tài)。值得注意的是，在前述已提及的以0初值或任意正向初值的第一組模擬中得到的穩(wěn)定態(tài)，圖4a所示的穩(wěn)定流場(chǎng)，和第二組初值反轉(zhuǎn)的模擬獲得的穩(wěn)定態(tài)方向是完全一致的。
2．23個(gè)渦Bénard花胞
在穩(wěn)定流場(chǎng)中，3渦Bénard花胞也被獲取了。同樣，為了驗(yàn)證此工況下，Bénard流動(dòng)對(duì)初值的敏感程度，我們通過程序?qū)崿F(xiàn)了對(duì)順向穩(wěn)定流場(chǎng)的反轉(zhuǎn)，人為制作逆向的穩(wěn)定流場(chǎng)流場(chǎng)，并把它作為初始值，投入到相同計(jì)算參數(shù)的數(shù)值模擬中。在模擬前期，流場(chǎng)非常的紊亂，但經(jīng)過不久的一段時(shí)間就發(fā)現(xiàn)流場(chǎng)方向回歸了，其表現(xiàn)形式與順向穩(wěn)定流場(chǎng)已無太大差別，只是還未穩(wěn)定，經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間后，流場(chǎng)穩(wěn)定，流動(dòng)方向?yàn)轫樝颉?br> 3結(jié)論：
在本研究中，通過大量的數(shù)值模擬，獲得了不同渦數(shù)的穩(wěn)定Bénard流場(chǎng)，并分別用各種不同初值來驗(yàn)證Bénard流動(dòng)對(duì)初值的敏感程度。在本文中，通過給予各工況一對(duì)流動(dòng)方向完全相反的初值后分別進(jìn)行數(shù)值模擬。在不同工況下得到了驚人一致的結(jié)論：Bénard流動(dòng)在特定工況下，穩(wěn)定的流動(dòng)方向是唯一的，它不受初始值的影響。該結(jié)論加深了人們對(duì)Bénard流動(dòng)的認(rèn)識(shí)。本研究是數(shù)值模擬方法在Bénard問題上的成功應(yīng)用。
參考文獻(xiàn)
1 Behringer R P. Rayleigh-Bénard convection and turbulence in liquid helium[J]. Rev Mod Phys,1985,57(3):Part 1,657-687
2 Kraichnan R H. Turbulent thermal convection at arbitrary Prandtl number[J]. PhysFluids,1962,5:1373-1389
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4 Rapaport D C. Time dependent patterns in atomistic ally simulated convection [J]. Phys. Rev.,A43, 7046-7048
5 曾丹芩. 工程非平衡熱動(dòng)力學(xué)[M]. 北京:科學(xué)出版社, 1991.
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