礦山微震時(shí)間序列的相空間構(gòu)建與混沌吸引子維數(shù)確立*
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呂 壘1，張教福2，朱權(quán)潔3，李瑩瑩1
（1．中鋼集團(tuán)武漢安全環(huán)保研究院有限公司，湖北武漢430081;2．武漢鋼鐵集團(tuán)開圣科技有限責(zé)任公司，湖北武漢430070；3．華北科技學(xué)院安全工程學(xué)院（中心），北京101601）
摘要：為了進(jìn)一步挖掘礦山微震信號(hào)內(nèi)蘊(yùn)藏的信息，初步研究了微震信號(hào)的混沌特性。針對(duì)礦山微震信號(hào)非平穩(wěn)、非線性的特點(diǎn)開展了以下研究：建立了一維時(shí)間序列的相空間重構(gòu)模型，分析了一維和多維微震時(shí)間序列的空間相型；選取了礦山現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)一維微震時(shí)間序列(N =2 000)，利用自相關(guān)函數(shù)求取了時(shí)間序列的延遲時(shí)間T；建立了微震時(shí)間序列關(guān)聯(lián)分維數(shù)的循環(huán)計(jì)算模型；最終確立了相應(yīng)臨界距離r(r= 250)和相空間維數(shù)m(m=50)的值，計(jì)算求得
分維數(shù)D的值為1. 088 5。研究結(jié)果表明，微震一維時(shí)間序列的吸引子維數(shù)存在，同時(shí)也證明了微震時(shí)間序列具有混沌特性。該研究結(jié)果為利用混沌理論處理礦山微震數(shù)據(jù)，如初始到時(shí)精確拾取、信號(hào)特征分析與提取以及波形降噪等提供理論依據(jù)。
關(guān)鍵詞：微震信號(hào)；混沌理論；吸引子；分維；自相關(guān)
中圖分類號(hào)：X936 doi: 10. 11731/j. issn，1673-193x．2016. 02.005
0引言
微震活動(dòng)其實(shí)質(zhì)是煤巖體破壞過程能量產(chǎn)生并以震動(dòng)形式的釋放，因此，在微震信號(hào)內(nèi)蘊(yùn)藏有大量關(guān)聯(lián)煤巖體演化過程的痕跡和特征信息，這些信息為礦山安全預(yù)警提供了依據(jù)。如何通過這些蘊(yùn)藏的信息實(shí)現(xiàn)對(duì)礦山災(zāi)害的提前預(yù)測(cè)與預(yù)警一直是目前研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。為了實(shí)現(xiàn)這一構(gòu)想，提出利用混沌理論研究微震信號(hào)（包括信號(hào)的去噪、特征提取等），本文基于此開展了礦山微震信號(hào)混沌特性機(jī)制與特性研究。
混沌理論是20世紀(jì)70年代中期產(chǎn)生，目前已廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、地震學(xué)等領(lǐng)域，并獲得可喜成果。在地震數(shù)據(jù)分析處理方面，Jackson等提出了利用SVD( Singular Value Decomposition)處理地震數(shù)據(jù)的原理；沈鴻雁利用SVD具有壓縮矩陣數(shù)據(jù)、精細(xì)描述信號(hào)序列本征的屬性，對(duì)地震波場(chǎng)進(jìn)行分離和數(shù)據(jù)噪聲的壓制去噪。在信號(hào)特征提取方面，同樣屬于“無(wú)序中尋求規(guī)律”的分形理論被廣泛應(yīng)用，解文榮等研究了地震波形的分形特征，并提取了相應(yīng)的分形特征，用于波形特征的定量描述和分類識(shí)別；朱權(quán)潔、于正興等提出利用小波包分解微震信號(hào)，并計(jì)算出頻帶的分形特征。
此外，混沌理論被應(yīng)用于數(shù)據(jù)序列信息挖掘和預(yù)測(cè)，如施式亮等通過對(duì)掘進(jìn)工作面瓦斯涌出時(shí)間序列觀測(cè)數(shù)據(jù)的分析，利用混沌理論構(gòu)建了時(shí)間序列的相空間，初步證明了瓦斯數(shù)據(jù)的混沌特性。何俊等對(duì)某礦突出前的瓦斯涌出量時(shí)間序列進(jìn)行了相空間重構(gòu)，求取了序列的飽和嵌入維數(shù)和關(guān)聯(lián)維數(shù)。王凱等利用混沌理論分析了煤與瓦斯突出前兆非線性特征，并建立了相應(yīng)的方法和指標(biāo)。程健等人利用混沌理論構(gòu)建了煤礦瓦斯?jié)舛阮A(yù)測(cè)的模型。
綜上所述，本文通過對(duì)礦山微震信號(hào)特點(diǎn)進(jìn)行了分析，提出了礦山微震信號(hào)動(dòng)態(tài)變化的混沌機(jī)制。利用混沌理論對(duì)微震時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，研究信號(hào)中蘊(yùn)藏的混沌動(dòng)力學(xué)特征和規(guī)律，該研究?jī)?nèi)容對(duì)研究信號(hào)去噪、特征提取以及礦山災(zāi)害的微震響應(yīng)具有實(shí)際意義。
1 微震信號(hào)與混沌理論
微震數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)、非線性的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)本身處于一種無(wú)序狀態(tài)，因此尋求其特征具有很大難度。而作為非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的最新進(jìn)展，混沌理論作為一種復(fù)雜的非線性動(dòng)力系統(tǒng)，它揭示了一種特殊狀態(tài)的無(wú)序，并通過表面的無(wú)序反饋內(nèi)在的有序�；煦缋碚摰奶卣鳛椋�①對(duì)初始條件具有敏感依賴性；②局部不穩(wěn)定、整體穩(wěn)定特點(diǎn)；③系統(tǒng)內(nèi)隨機(jī)性；④分維數(shù)性質(zhì)�；煦缦到y(tǒng)的分?jǐn)?shù)維性質(zhì)指混沌系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的軌跡在相空間中的幾何形態(tài)具有分維特征，其運(yùn)動(dòng)軌跡在相空間某區(qū)域內(nèi)無(wú)窮折迭構(gòu)成一個(gè)自相似結(jié)構(gòu)，稱之為“吸引子”。假設(shè)微震時(shí)間序列存在吸引子（分維數(shù)特征）則其具有混沌特性，這是判斷微震信號(hào)是否具有混沌性的判據(jù)。
時(shí)間序列內(nèi)包含有大量的信息，一維的時(shí)間序列很難展現(xiàn)其中蘊(yùn)藏的變量信息。假設(shè)將微震數(shù)據(jù)信息作為一個(gè)體系，可以將這個(gè)體系以動(dòng)態(tài)的方式展現(xiàn)在多維空間之上，為信息特征的提取和解譯提供幫助。為說明相空間矩陣構(gòu)建的原理，以采樣點(diǎn)數(shù)Ⅳ= 400的微震事件時(shí)間序列為例進(jìn)行說明（數(shù)據(jù)圖形如圖1所示），基本參數(shù)為m=6，T=30 ms，n=250。
可以看出，通過拓展后原有數(shù)據(jù)被重構(gòu)為一個(gè)m維的相空間，每個(gè)相空間中存在一個(gè)由n個(gè)點(diǎn)組成的序列。通過這個(gè)序列可以表征這個(gè)體系在某一時(shí)刻的狀態(tài)n個(gè)點(diǎn)的連線就組成了點(diǎn)在相空間中的軌跡，m維相空間的組合便形成了體系狀態(tài)隨時(shí)間的演化（相型）。圖2是重新拓展得到的相空間矩陣數(shù)據(jù)曲線圖（一維），分界線兩側(cè)為相隔下時(shí)間延遲的兩個(gè)序列。
為了觀察微震時(shí)間序列經(jīng)拓展后在相空間中的軌跡特點(diǎn)，分別繪制二維和三維相空間的相型，如圖3、圖4所示。從曲線軌跡來(lái)看，序列一直在某一固定空間范圍內(nèi)循環(huán)運(yùn)動(dòng)，雜亂但亂中有序：軌跡只在空間中的有限部分不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，在相空間中是緊縮的。這與微震信
號(hào)振幅值圍繞y=0往復(fù)運(yùn)動(dòng)有關(guān)，而振幅值的不同也構(gòu)成了相型的非規(guī)則性。
從上述分析大膽假設(shè)，微震信號(hào)應(yīng)該具有一定的混沌特性。為了進(jìn)一步證明這一猜想，對(duì)微震信號(hào)進(jìn)行相空間重構(gòu)，并求取相應(yīng)的關(guān)聯(lián)維指標(biāo)。
2微震信號(hào)的相空間構(gòu)建
假設(shè)礦山現(xiàn)場(chǎng)采集的微震信號(hào)X（x1，x2，…，x N）為一維時(shí)間序列（時(shí)間和振幅），序列的總長(zhǎng)度為N，相重構(gòu)的嵌入維數(shù)為m，時(shí)間延遲為T。當(dāng)延遲T時(shí)間為1個(gè)單位距離(1 ms)時(shí)，一維時(shí)間序列X與相應(yīng)相空間數(shù)據(jù)矩陣S之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系式：
按照通用寫法，上述公式也可表述為：
3 關(guān)聯(lián)分維的計(jì)算
3.1 延遲時(shí)間的選擇
自相關(guān)法為序列相關(guān)法的一種，該方法可以提取序列間的線性相關(guān)性，利用自相關(guān)函數(shù)可以獲得SVD相空間矩陣構(gòu)建的延遲時(shí)間。延遲時(shí)間的選取可以使重構(gòu)后時(shí)間序列元素之間的相關(guān)性降低，并盡量保留了原始序列的動(dòng)力學(xué)特征。
以上述微震時(shí)間序列S(s1，s2，s3，…)為例，該序列的自相關(guān)函數(shù)R可表述為：
式中：R min為取其絕對(duì)值最小值R時(shí)所對(duì)應(yīng)的延遲時(shí)間作為T；s i和s i+1分別表示兩個(gè)不同時(shí)刻i和i+1時(shí)的值。
利用MATLAB的autocorr()函數(shù)求取信號(hào)的自相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如圖5和表1中所示。
式中：D即是上文提到的關(guān)聯(lián)維，D與變量r和C的取值密切相關(guān)，C是隨r與m變化而變化的函數(shù)。因此，在確定r取值的前提下，可以通過變化m取值得到一系列D值，且存在當(dāng)m變化到一定程度時(shí)，D值趨于穩(wěn)定。
3.3 關(guān)聯(lián)維求取流程
為了求取關(guān)聯(lián)維數(shù)，利用MATLAB編制了相應(yīng)的程序模型，其思路如圖6所示。
具體流程可概述為：
①輸入一維微震時(shí)間序列X。
②利用自相關(guān)函數(shù)確立時(shí)間序列的延遲時(shí)間下。
③設(shè)定一系列變化的臨界距離r和嵌入空間維數(shù)m，循環(huán)求取相應(yīng)的D和C值，當(dāng)C滿足要求時(shí)，選取滿足C的r值r，。
④求取L所對(duì)應(yīng)的D和m值，并繪制1nC( D)/1nC(m)曲線，當(dāng)達(dá)到曲線最高點(diǎn)時(shí)，即D值達(dá)到飽和。
⑤求取達(dá)到飽和時(shí)的m值，即為所求。
4 工程應(yīng)用
4.1 礦山微震信號(hào)數(shù)據(jù)來(lái)源
以山東某礦現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)的微震信號(hào)為例，分別采集了巖石破裂微震信號(hào)、爆破震動(dòng)信號(hào)以及現(xiàn)場(chǎng)噪聲信號(hào)為例進(jìn)行處理和分析。在進(jìn)行微震波形去噪前，首先選取礦山現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，并對(duì)該微震數(shù)據(jù)進(jìn)行相空間矩陣構(gòu)建，即數(shù)據(jù)的拓展。選取某礦現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)微震數(shù)據(jù)一列，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為2 000 ms（采樣點(diǎn)2 000），即1個(gè)采樣點(diǎn)間隔為1ms，前10列數(shù)據(jù)為[0. 121 5，0.125 9，0.130 5，0. 135 1,0.139 8,0.144 6,0.149 4,0.154 3,0.159 4,0. 164 5]，其曲線圖如圖1所示。
數(shù)據(jù)序列的拓展實(shí)際上是將一維序列拓展到多維空間。當(dāng)時(shí)間延遲為T= 11 ms時(shí)，經(jīng)過公式(1)處理后，得到相應(yīng)的拓展多維數(shù)據(jù)序列。序列經(jīng)拓展后結(jié)果如表2中所示，在這個(gè)序列中（表2），橫列S1為相空間
取前5列進(jìn)行圖形繪制，得到如圖2所示結(jié)果，由于序列數(shù)據(jù)點(diǎn)較多，且時(shí)間延遲T較小，因此，從圖2中看出各拓展后序列變化并不明顯。因此，為了獲得相應(yīng)的最佳的混沌特性，需要對(duì)微震信號(hào)相空間構(gòu)建參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化選取。
4.2 結(jié)果計(jì)算
為了獲得最佳的相空間維數(shù)m，需要對(duì)關(guān)聯(lián)維進(jìn)行計(jì)算，篩選最優(yōu)的r值和m值。通過初步計(jì)算任意兩列數(shù)據(jù)的歐氏模norm和計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，可以判斷r的值大于125，m的取值在2~ 100范圍內(nèi)。因此，給定r∈[125150 200 250 300 350 400],m∈[2 5 8 10 15 20 25 30 3540 45 50 55 60 70 80 90 100]，利用MATLAB編制相應(yīng)的模型，并進(jìn)行循環(huán)計(jì)算。
利用自相關(guān)函數(shù)計(jì)算得出了微震數(shù)據(jù)的自相關(guān)系數(shù)，如圖5所示，可以得出，延遲時(shí)間為11個(gè)采樣點(diǎn)，即11 ms。最終計(jì)算出的計(jì)算結(jié)果如圖7所示，由上圖可以看出，1nC( C)呈現(xiàn)遞增趨勢(shì)，并在r=250時(shí)基本達(dá)到飽和，其它曲線均在r= 250時(shí)融合為單一曲線，因此，確立r= 250為R半徑的最終取值。將R值的不同分維值調(diào)出，并繪制關(guān)聯(lián)分維D與維度m的曲線，如圖8所示。
從圖8中可以看出，微震信號(hào)具有分維性，D值隨m的取值變化不斷變化：在初始階段，關(guān)聯(lián)分維D呈現(xiàn)不斷增加趨勢(shì)，在維度編號(hào)為12時(shí)達(dá)到最大值1.088 5，并在編號(hào)12、13、14（分別對(duì)應(yīng)m= 50、55和60）時(shí)飽和，之后D值開始下降。當(dāng)m取值編號(hào)為12、13和14時(shí)，關(guān)聯(lián)分維D達(dá)到最大值1. 088 5，取m=50。因此，最終確立r =250，m=50。通過上述分析可知，微震信號(hào)的分維特性明顯，而分維是體系具有混沌現(xiàn)象的主要標(biāo)志。這也表明微震信號(hào)存在混沌吸引子，即混沌現(xiàn)象。
5結(jié)論
1)微震信號(hào)是非平穩(wěn)、非線性震動(dòng)信號(hào)，其時(shí)間序列表現(xiàn)出復(fù)雜的特征，這正源于信號(hào)混沌特性。由此可以看出，混沌理論可以用于挖掘微震信號(hào)內(nèi)蘊(yùn)藏的特征信息。
2)通過自相關(guān)函數(shù)求取了微震一維時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)，結(jié)果表明，在延遲時(shí)間丁= 11 ms時(shí)時(shí)間序列的相關(guān)性最低。
3)通過微震數(shù)據(jù)的空間相型、關(guān)聯(lián)維數(shù)等，進(jìn)一步研究和驗(yàn)證了微震信號(hào)的混沌特性，對(duì)于數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為2 000的時(shí)間序列，當(dāng)m =50其分為特性最為明顯，即混沌特征最為顯著，此時(shí)的分維數(shù)D =1. 088 5。
4)通過分析微震信號(hào)的混沌特性，為后期應(yīng)用混沌理論對(duì)微震信號(hào)的降噪、快速拾取初始到時(shí)拾取以及提取波形特征奠定了基礎(chǔ)。
