帶權(quán)重函數(shù)估計的移動最小二乘法及其在彈道處理中的應(yīng)用
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王 鵬 ， 溫永強 ，
韓 云
（1．中國航空工業(yè)集團公司洛陽電光設(shè)備研究所，河南洛陽471000；2．中國人民解放軍駐六一三所軍事代表室，河南洛陽471000）
摘要：針對移動最小二乘法中的杈重函數(shù)影響域提出一種基于De Giorgi迭代技術(shù)的估計方法。新方法可有效估計權(quán)重函數(shù)在局部鄰域中的影響半徑，從而構(gòu)造權(quán)重函數(shù)的具體形式。采用此算法對某航空炸彈的彈道進行處理，通過實驗表明，在移動最小二乘法中使用新方法構(gòu)造的權(quán)重函數(shù)獲得的彈道模型能滿足工程精度要求，并且提高了擬合曲線的光滑性。
0 引言
傳統(tǒng)最小二乘法，即通過使誤差的平方和最小，得到一個線性方程組，求解線性方程組就可以得到擬合曲線。傳統(tǒng)最小二乘法在擬合過程中，其多項式的階次需要試算，且當(dāng)數(shù)據(jù)量較大、形狀復(fù)雜時往往需要進行分段擬合，從而限制了其通用性。移動最小二乘法是20世紀80年代發(fā)展起來的一種基于點的擬合方法，移動最小二乘法能很好地解決傳統(tǒng)二乘法需要分段的缺點，其主要優(yōu)點有：1）由于緊支集概念的引入，將原有分段擬合的方式改變?yōu)榫o支集的鄰域計算，從而不需要進行分段擬合；2）精度高，能擬合數(shù)據(jù)劇烈變化的情況；3）選取合適的權(quán)重函數(shù)，可得到足夠光滑的曲線。
由移動最小二乘法原理，其權(quán)函數(shù)的構(gòu)造直接影響移動最小二乘法的精度及穩(wěn)定性。為了獲得性質(zhì)優(yōu)良的權(quán)函數(shù)，本文針對移動最小二乘法中權(quán)重函數(shù)的最大值提出一種基于De Giorgi迭代技術(shù)的估計方法，從而依據(jù)權(quán)函數(shù)性質(zhì)及最大值估計構(gòu)造權(quán)函數(shù)的具體形式。
1 移動最小二乘法
本節(jié)簡要介紹移動最小二乘法的基本計算原理。對于每個觀察數(shù)據(jù)Z∈D，需要獲得系數(shù)ai（z），i=1，2，…，n，使得
記ak表示向量a的k分量，上述方程可寫為矩陣形式：BW(z)Ba=BW(2)f。其中：B是一個n×N矩陣，其j行為b=( b(j)(z1)，b(j)(z2)，…，6(j)(zn))；f=(f (z1),f(z2)，…，f(zn)）T。
由以上定義可知：如果W(z)不是一個常值矩陣，那么對于每個z∈D，都能獲得一個新的a（z）；如果Gf是由移動最小二乘法產(chǎn)生的一個f的逼近，那么函數(shù)的定義域?qū)⑥D(zhuǎn)為整個D；如果W(z)是一個常值矩陣，那么移動最小二乘法將退化成為經(jīng)典的最小二乘法。
2權(quán)重函數(shù)估計方法
根據(jù)式(5)、式(6)定義
即
由上式并結(jié)合引理1，則式中，ιi=wi（xi），為定義域上未歸一化的權(quán)重函數(shù)觀測點權(quán)值，假設(shè)其依據(jù)平均分配定義域測度，本文考慮每個觀察點的權(quán)值相等，可根據(jù)觀察數(shù)據(jù)點個數(shù)n設(shè)置為∣D∣/n，有
式中：△R為△min；△L為△i。由定義1可知，權(quán)重函數(shù)的影響半徑為d．。
由引理l及權(quán)函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造權(quán)函數(shù)w，(t)，有
式中，ri= ∣x -xi∣/di，同時，權(quán)重函數(shù)正態(tài)性，即
可計算θ值。結(jié)合式(16)，通過計算可以驗證式(15)權(quán)重函數(shù)滿足上文中權(quán)重函數(shù)條件1）～5）。利用本文獲得的局部近似的方法：移動最小二乘法來實現(xiàn)非線性系統(tǒng)的函數(shù)擬合。移動最小二乘法作為一種近似估計算法，其基本原理是：首先對全特性曲線在整個求解區(qū)域內(nèi)分區(qū)，即求得緊支集影響半徑，然后在不同的區(qū)域上用最小二乘擬合，即采用分區(qū)局部擬合。
3 彈道擬合及方法驗證
以某模型炸彈的飛行數(shù)據(jù)為例，通過對比傳統(tǒng)最小二乘法與新方法擬合數(shù)據(jù)的情況驗證新方法的精度及有效性。原始數(shù)據(jù)為某炸彈飛行時的高度、時間。移動最小二乘法、傳統(tǒng)最小二乘法多項基底采用的形式同為
移動最小二乘法權(quán)重函數(shù)使用式(15)，權(quán)重函數(shù)緊支集影響半徑di由式(14)給出。由上述方法，各觀測點權(quán)重函數(shù)如下：
傳統(tǒng)最小二乘法擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)比較如圖1所示。
移動最小二乘法擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)比較如圖2所示。
傳統(tǒng)最小二乘法擬合數(shù)據(jù)誤差如圖3、圖4所示。由圖3、圖4可知，基于本文權(quán)函數(shù)的移動最小二乘法得到的擬合曲線的誤差相對傳統(tǒng)最小二乘法的誤差更小，前者擬合精度顯著高于后者。
4結(jié)論
本文提出了移動最小二乘法權(quán)函數(shù)最大值的估計方法，以此為依據(jù)構(gòu)造了權(quán)函數(shù)的具體形式，并針對某航空制導(dǎo)炸彈彈道進行了處理。基于新方法獲得的權(quán)函數(shù)使得移動最小二乘法具有許多優(yōu)點：1）精度較高，能夠捕捉到數(shù)據(jù)的劇烈變化；2）基于新的權(quán)重函數(shù)，可以得到足夠光滑的擬合曲線。移動最小二乘法作為一種函數(shù)擬合的重要方法，隨著對其權(quán)函數(shù)研究的不斷深入，其處理精度及光滑度將不斷提高。
