淺談樁土共同作用的周期性高架橋結(jié)構(gòu)的能帶計算模型
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論文導(dǎo)讀:：能帶特性是周期性結(jié)構(gòu)的特有屬性。和文獻(xiàn)中的聲子晶體結(jié)構(gòu)相比。利用傳遞矩陣方法可得周期性橋墩的阻抗矩陣。由于周期性高架橋結(jié)構(gòu)的跨度較大�？山瓶闯捎蓸痘A(chǔ)。
論文關(guān)鍵詞：能帶，聲子晶體結(jié)構(gòu)，傳遞矩陣方法，周期性高架橋結(jié)構(gòu)，樁基礎(chǔ)
1 引言
隨著我國經(jīng)濟的快速發(fā)展，高速鐵路逐漸得到普及。由于高架路基能很好地解決路基沉降問題，所以，目前高速鐵路的很多路段均采用高架路基。高架鐵路的很多路段，可近似看成由樁基礎(chǔ)，橋墩及橫梁所構(gòu)成的周期性結(jié)構(gòu)。由于地震可對高架橋結(jié)構(gòu)造成很大的破壞[1]，因此，對此類周期性結(jié)構(gòu)合理的抗震設(shè)計具有重要的工程實際意義。由于周期性高架橋結(jié)構(gòu)的跨度較大，因此，常規(guī)的設(shè)計方法是切出其主要部分，然后運用反映譜方法或時域分析方法[2]對其進(jìn)行動力分析。但上述方法只能分析高架橋結(jié)構(gòu)的振動解，而不能給出關(guān)于波動解的任何信息，例如，高架橋結(jié)構(gòu)的波模式，波速及波阻尼等。
能帶特性是周期性結(jié)構(gòu)的特有屬性。對周期性結(jié)構(gòu)，其存在禁帶和通帶，對頻率位于通帶內(nèi)的格波，其可在結(jié)構(gòu)中傳播，但對頻率位于禁帶內(nèi)的格波，則不能傳播。目前交通論文，文獻(xiàn)中一般把周期性結(jié)構(gòu)統(tǒng)稱為聲子晶體或聲子晶體結(jié)構(gòu)[3]。根據(jù)上述能帶特性，周期性高架橋結(jié)構(gòu)的合理設(shè)計應(yīng)使得場地的卓越頻率處于高架橋結(jié)構(gòu)能帶的通帶中，否則，具有卓越頻率的格波會在高架橋結(jié)構(gòu)中局域化，造成結(jié)構(gòu)的破壞。因此，周期性高架橋結(jié)構(gòu)能帶的研究，對其抗震設(shè)計具有重要意義；此外，周期性高架橋結(jié)構(gòu)的能帶，還可用于格波相速度和群速度的計算。
和文獻(xiàn)中的聲子晶體結(jié)構(gòu)相比，周期性高架橋結(jié)構(gòu)的顯著特點是其和半空間土體的耦合，這使其可向半空間土體輻射能量。因此，周期性高架橋結(jié)構(gòu)可定義為一類新型的聲子晶體結(jié)構(gòu)，即“開放”型聲子晶體結(jié)構(gòu)，這不同于以往的“封閉”型聲子晶體結(jié)構(gòu)－即限制格波能量于結(jié)構(gòu)內(nèi)的聲子晶體結(jié)構(gòu)。時至今日，已對通常的“封閉”型聲子晶體結(jié)構(gòu)進(jìn)行了廣泛的研究，已經(jīng)發(fā)展了多種方法來計算其能帶，例如：傳遞矩陣方法[4], 平面波方法[3], 多重散射方法[5], 有限差分方法[6]及變分方法[7]等。對梁類聲子晶體結(jié)構(gòu)，目前也開展了很多研究[8-10]，文[11]對梁類周期性結(jié)構(gòu)中波傳播的研究進(jìn)行了廣泛的綜述論文提綱怎么寫。值得指出的是，雖然目前對“封閉”型聲子晶體結(jié)構(gòu)進(jìn)行了廣泛的研究，但對本文的“開放”型周期性高架橋結(jié)構(gòu)，由于樁基礎(chǔ)和半空間土體耦合，因此，上述方法不能有效地應(yīng)用。
在本文中我們將建立“開放”型周期性高架橋結(jié)構(gòu)的能帶計算模型。為建立該模型，首先利用積分方程方法對樁土共同作用問題進(jìn)行計算，并得出周期性樁基礎(chǔ)的柔度矩陣。根據(jù)樁基礎(chǔ)的柔度矩陣，利用傳遞矩陣方法可得周期性橋墩的阻抗矩陣。利用所得橋墩的阻抗矩陣，根據(jù)Bloch定理[12]及傳遞矩陣方法[13]，可得此結(jié)構(gòu)能帶計算的非線性多項式特征值方程�；谒玫姆蔷�性特征值方程，得出高架橋結(jié)構(gòu)的近似線性特征值方程。數(shù)值結(jié)果表明，在本文的高架橋結(jié)構(gòu)中存在三種格波。對大多數(shù)頻率，第一和第二種格波是高衰減波，因此，其只在高架橋結(jié)構(gòu)中傳播有限距離；第三種格波除在一個低頻區(qū)域內(nèi)有衰減外，在其它頻率范圍均可傳播。
2 樁基礎(chǔ)的柔度矩陣及橋墩的阻抗矩陣
2.1 周期性高架橋結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型
本文中的周期性高架橋結(jié)構(gòu)由周期性樁基礎(chǔ)，橋墩及橫梁組成(圖1)。實際上，每個橋墩往往通過群樁來支撐，但由于本文的目的是建立此類結(jié)構(gòu)能帶計算的理論模型，而非設(shè)計具體的高架橋結(jié)構(gòu)，因此，為簡便計交通論文，假設(shè)每個橋墩只由一個樁基礎(chǔ)支撐，每根橫梁端部只由一根橋墩支撐。所以，這里的周期性高架橋結(jié)構(gòu)的每個組成單元包含一個樁基礎(chǔ)，一個橋墩及一段橫梁(圖1)。假設(shè)樁基礎(chǔ)和橋墩、橋墩和橫梁及橫梁間的聯(lián)結(jié)均為剛性聯(lián)結(jié)，因此，本文的周期性高架橋結(jié)構(gòu)可近似成一個平面剛架結(jié)構(gòu)。理論上，周期性高架橋結(jié)構(gòu)包括無窮多個組成單元，但由于其能帶可由傳遞矩陣方法通過分析其一個代表性單元來確定，因此，能帶模型中可只考慮鄰近代表性單元的單元影響。假設(shè)代表性單元為零號單元 (圖1), 且只考慮從
號到
號單元的影響，所以，模型所涉及的單元總數(shù)為。此外，在本文的模型中，假設(shè)高架橋結(jié)構(gòu)只發(fā)生面內(nèi)振動，因此，這里的樁、橋墩及橫梁將產(chǎn)生軸向振動及面內(nèi)彎曲振動。此外，在本文中，我們假設(shè)樁截面為圓形，橋墩截面形狀任意，而梁截面則為矩形。
2.2 周期性樁基礎(chǔ)的柔度矩陣及橋墩阻抗矩陣的確定
為建立周期性高架橋結(jié)構(gòu)的能帶計算模型，必須首先確定周期性樁基礎(chǔ)的柔度矩陣及橋墩的阻抗矩陣。由于本文中樁基礎(chǔ)截面形狀為圓形，因此可采用Muki的虛擬樁方法來求解樁土共同作用問題[14, 15]。面內(nèi)振動的樁基礎(chǔ)會產(chǎn)生軸向和面內(nèi)彎曲振動，因此，虛擬樁法中必須考慮樁基礎(chǔ)的軸向和橫向振動[16]。限于篇幅，這里不再列出樁基礎(chǔ)積分方程解法(虛擬樁法)的求解步驟[16]。利用虛擬樁法得出樁基礎(chǔ)的柔度矩陣后，橋墩的阻抗矩陣可利用橋墩的傳遞矩陣來確定。
假設(shè)樁、橋墩及橫梁的軸向位移和橫向位移均由和
表示，這樣承受軸向和面內(nèi)彎曲變形的第i根樁的樁頂位移及樁頂力可表示為
, , (1)
這里，
,
為第i根樁樁頂?shù)妮S向位移，橫向位移及轉(zhuǎn)角，,則為樁頂?shù)妮S力，剪力及彎矩。如上所述，由于能帶模型中只考慮()根樁的影響，因此，由虛擬樁法所確定的根樁的柔度矩陣滿足如下關(guān)系
(2)
這里的矩陣
表示第i根樁和第 j根樁的耦合作用，如
, 
則表示第i根樁的單位樁頂力所引起其自身的樁頂位移。
由于在本文中，承受軸向振動和面內(nèi)彎曲振動的橋墩也作為柱和梁來處理，因此，其傳遞矩陣可由通常的柱體及梁的振動理論來推導(dǎo)[17]。設(shè)橋墩的狀態(tài)向量為
, , (3)
其中是第i個橋墩的軸向位移，橫向位移及轉(zhuǎn)角, 為其軸向力，剪力及彎矩。設(shè)橋墩的傳遞矩陣為，則對第i個橋墩有
, (4)
這里和
分別是第i個橋墩的頂部和底部的狀態(tài)向量交通論文，, 是橋墩傳遞矩陣的子矩陣。
如上所述，假設(shè)一個橋墩由一個樁基礎(chǔ)支撐，且樁基礎(chǔ)和橋墩間采用剛性聯(lián)結(jié)，因此，對第i根橋墩和第i個樁基礎(chǔ)有如下關(guān)系
, (5)
利用公式(2), (4) 及 (5), 橋墩頂部的位移向量可表示為
(6a)
這里
(6b)
類似地，橋墩頂部的力向量可表示為
(7)
利用上述方程，得如下橋墩頂部的位移向量和力向量間的關(guān)系
(8)
這里即為橋墩的阻抗矩陣。上述關(guān)系可進(jìn)一步寫成如下的指標(biāo)形式
, (9)
其中，是阻抗矩陣
的
的子矩陣，表示第 i個橋墩和第j個橋墩間的耦合作用。
3 周期性高架橋結(jié)構(gòu)的非線性特征值方程及其線性近似
如上所述，對面內(nèi)振動的周期性高架橋結(jié)構(gòu)，橫梁的運動同樣也包括軸向振動和面內(nèi)彎曲振動。如圖1所示，由于第 j根梁的右端和(j+1)根梁的左端及第j個橋墩的頂部剛性聯(lián)結(jié)，因此有如下的聯(lián)結(jié)條件
, , (10)
這里是第(j+1)根及第j根梁的左端及右端的位移向量。此外，根據(jù)第 j個接頭處的平衡條件，可得如下方程
, , (11)
這里，是第(j+1)根及第j根梁的左端及右端的力向量論文提綱怎么寫。根據(jù)橫梁軸向振動及面內(nèi)彎曲振動的控制方程[17]，可類似地推導(dǎo)其傳遞矩陣，因此有
(12)
其中是橫梁的
的傳遞矩陣, 
是第j根橫梁的左端和右端的狀態(tài)向量，是單元內(nèi)橫梁長度。利用公式(10)和(11)，并令 j號單元為中心單元(
), 則一號單元橫梁左端的狀態(tài)向量可表示為
(13)
把由式(9)所確定的表達(dá)式代入(13)得
(14)
根據(jù)Bloch定理[12], 有
, 這樣上述方程可寫為
(15a)
其中
, (15b)
上式中為格波波數(shù)，此外，上式中的不包括
項。在方程 (12)中令并代入(15a)，并對(15a)左端應(yīng)用Bloch定理[12]，得如下高架橋結(jié)構(gòu)多項式形式的特征值方程
(16a)
上式中為多項式特征值方程的系數(shù)矩陣，且
, ,
, (16b)
值得指出的是，如果相鄰樁基礎(chǔ)間距足夠大，則樁基礎(chǔ)間的耦合作用可忽略，此時，非線性特征值方程可簡化為如下的線性特征值方程
, , (17)
4 數(shù)值結(jié)果
基于方程(17)，本部分將給出關(guān)于周期性高架橋結(jié)構(gòu)能帶的一個算例。在此算例中我們將考察梁和橋墩的彈性模量比()對其能帶的影響。計算中，橋墩的截面也取為圓形。半空間土體、樁、橋墩及橫梁的參數(shù)取值如下：半空間土體的剪切模量和泊松比 (,)為
Pa, 0.3；樁的楊氏模量及泊松比(,)為
Pa, 0.3；橋墩的楊氏模量及泊松比 (,)為Pa, 0.3；樁長及樁半徑 (
,
)為20m, 0.5m；橋墩的高度及半徑為(, )為7.5m, 0.3 m；單元內(nèi)橫梁長度，橫梁矩形截面尺寸 (,)為10.0m, 2.0m, 0.3m；半空間土體、樁、橋墩及橫梁的密度()為
kg/m3,
kg/m3,kg/m3,
kg/m3；梁的泊松比為0.3，其彈性模量的取值使分別為
。此外，能帶中頻率的計算范圍為Hz。
圖2-4給出了面內(nèi)振動的周期性高架橋結(jié)構(gòu)三種格波的能帶。圖2和圖3表明，第一種和第二種格波的阻尼均比較大，因此，其在高架橋結(jié)構(gòu)中均不能傳播較遠(yuǎn)距離。圖4顯示第三種格波的虛部較小，因此，其能在高架橋結(jié)構(gòu)中傳播；但在一低頻區(qū)域內(nèi)，其格波波數(shù)的虛部取值較大，且實部為零交通論文，所以，在此低頻區(qū)域內(nèi)格波也不傳播；此外，對第三種格波，其頻率(實部)-波數(shù)曲線接近直線，因此，其相速度和群速度近似相等，且格波速度隨橫梁的剛度增加而增加，而阻尼則隨橫梁的剛度增加而明顯減小。
5 結(jié)論
在本文中我們建立了周期性高架橋結(jié)構(gòu)能帶計算的數(shù)值模型，把高架橋結(jié)構(gòu)的能帶計算化歸到一個非線性多項式特征值方程。本文的研究有兩重意義：首先，本文的研究為高架橋結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計提供了一種新思路；其次，本文引入了一種新型的聲子晶體結(jié)構(gòu)，即“開放”型聲子晶體結(jié)構(gòu)，因此，本文的研究對拓展聲子晶體結(jié)構(gòu)的研究范圍具有重要意義。本文的數(shù)值結(jié)果表明，面內(nèi)振動的周期性高架橋結(jié)構(gòu)中，存在三種格波。第一和第二種格波為衰減波，因此，其只在高架橋結(jié)構(gòu)中傳播有限距離。第三種格波除一低頻區(qū)域外，能在高架橋結(jié)構(gòu)中傳播。此外，由于在一低頻區(qū)域內(nèi)三種格波均不傳播，因此，如何設(shè)計高架橋結(jié)構(gòu)使其場地的卓越頻率不在此低頻區(qū)域內(nèi)，是高架橋結(jié)構(gòu)設(shè)計的重要任務(wù)。
致謝
本文的研究得到國家自然科學(xué)基金的資助(批準(zhǔn)號：51078171)，此外，本研究得到江蘇大學(xué)優(yōu)秀青年學(xué)術(shù)骨干培養(yǎng)對象基金及江蘇省青藍(lán)工程中青年學(xué)術(shù)帶頭人培養(yǎng)基金的資助。
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