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王騎虎

（1．北京工業(yè)大學(xué)城市與工程安全減災(zāi)省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100022；

2．甘肅省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)院有限責(zé)任公司，甘肅蘭州730030）

 摘要：破壞準(zhǔn)則是把基于指定應(yīng)力路徑或試驗(yàn)條件下得到土的強(qiáng)度特性推廣至一般應(yīng)力條件，其是否具有廣泛適用性值得探討�；�于數(shù)值分析，探討了多種屈服準(zhǔn)則反映一般情況下土體強(qiáng)度特性的能力，并依據(jù)反映中主應(yīng)力影響的特性對(duì)屈服準(zhǔn)則進(jìn)行了分類。分析表明．廣義Mises準(zhǔn)則、形變能破壞準(zhǔn)則和Bishop準(zhǔn)則均不能合理地反映中主應(yīng)力的放大效應(yīng)和區(qū)間效應(yīng)，而SMP準(zhǔn)則和Lade-Duncan單參數(shù)破壞準(zhǔn)則可有效地反映這種影響，故建議有限元軟件中采用后者進(jìn)行土工數(shù)值分析。

 關(guān)鍵詞：破壞準(zhǔn)則；中主應(yīng)力；內(nèi)摩擦角；廣義Mises準(zhǔn)則；SMP準(zhǔn)則；Lade-Duncan準(zhǔn)則

 中圖分類號(hào)：TU432 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1004-4051(2015)12-0142-05

 由于試驗(yàn)儀器或認(rèn)識(shí)水平的限制，人們往往利用常規(guī)三軸儀器通過(guò)指定的應(yīng)力路徑（2≠3）考察土的強(qiáng)度特性。并通過(guò)數(shù)學(xué)模型，把這種特定條件下得到的試驗(yàn)結(jié)果推廣到一般情況。這種數(shù)學(xué)模型可稱為本構(gòu)模型或者屈服與破壞準(zhǔn)則。

 依據(jù)特定試驗(yàn)條件下得到的破壞準(zhǔn)則，其能否正確反映一般情況下土體的變形與強(qiáng)度特性，是值得探討的問(wèn)題。一般地，可以通過(guò)中主應(yīng)力變化來(lái)考察一般應(yīng)力狀態(tài)（1≠2 ≠3）與三軸壓縮狀態(tài)（1≠2 =3）間土體強(qiáng)度的相互關(guān)系。方開(kāi)澤根據(jù)多種破壞準(zhǔn)則，通過(guò)分析考察了在考慮中主應(yīng)力系數(shù)影響時(shí)的內(nèi)摩擦角與三軸壓縮試驗(yàn)所得內(nèi)摩擦角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。但事實(shí)上，簡(jiǎn)單地建立考慮中主應(yīng)力系數(shù)影響時(shí)的內(nèi)摩擦角與三軸壓縮試驗(yàn)所得內(nèi)摩擦角之間的轉(zhuǎn)換公式有時(shí)候可能帶來(lái)不合理的結(jié)果（后文將舉例敘述）。因此，有必要通過(guò)數(shù)學(xué)手段來(lái)探討考慮中主應(yīng)力系數(shù)影響時(shí)屈服準(zhǔn)則的基本函數(shù)特性。

 本文基于函數(shù)求極值的數(shù)學(xué)手段，分析探討了多種屈服準(zhǔn)則反映中主應(yīng)力影響的能力。并依據(jù)反映中主應(yīng)力影響的特性對(duì)屈服準(zhǔn)則進(jìn)行分類（見(jiàn)一級(jí)標(biāo)題），為屈服準(zhǔn)則的實(shí)際應(yīng)用提供了理論指導(dǎo)。

 符號(hào)約定：表示三軸壓縮條件下（1≠2 =3）的內(nèi)摩擦角，b表示考慮中主應(yīng)力系數(shù)影響時(shí)(1≠2 ≠3)的內(nèi)摩擦角，b為中主應(yīng)力系數(shù)，b=（2 -3）／（1-3）。1、2 、3分別為大主應(yīng)力、中主應(yīng)力、小主應(yīng)力。

1  第一類：（b ）max≥0（b ）min≤o，且僅在內(nèi)摩擦角部分范圍上成立

廣義Mises準(zhǔn)則（也稱Drucker-Prager準(zhǔn)則）屬于此類特性的屈服準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則可表示為式(1)。

式中：I1、J2分別為應(yīng)力張量第一不變量和應(yīng)力偏量第二不變量；a、k是是與巖土材料內(nèi)摩擦角和黏聚力c有關(guān)的常數(shù)。該準(zhǔn)則考慮了中主應(yīng)力2對(duì)屈服和破壞的影響，且屈服面在偏平面上為圓形，這有利于塑性應(yīng)變?cè)隽糠较虻拇_定和軟件編程計(jì)算，因而得到了廣泛的應(yīng)用，并編入了大型商業(yè)軟件ANSYS、ABAQUS、NASTRAN和MARC等。

根據(jù)偏平面上廣義Mises準(zhǔn)則與Mohr- Coulomb準(zhǔn)則的位置關(guān)系可以確定參數(shù)a和k的表達(dá)式。徐干成等偏平面上廣義Mises準(zhǔn)則與Mohr-Coulomb準(zhǔn)則所圍面積相等的原理提出了一種參數(shù)表達(dá)式，計(jì)算表明利用該表達(dá)式得到的塑性區(qū)與Mohr-Coulomb準(zhǔn)則的結(jié)果相當(dāng)。表1列出了參數(shù)a和k的常用表達(dá)式�？梢�(jiàn)，對(duì)于無(wú)黏性土c=0時(shí)有k=0．

基于廣義Mises準(zhǔn)則針，對(duì)無(wú)黏性土可得到考慮中主應(yīng)力影響下的內(nèi)摩擦角b 與中主應(yīng)力系數(shù)b的相互關(guān)系，見(jiàn)式(2)。

式中：a1=3 a。但選擇表1中參數(shù)a的表達(dá)式和一定的中主應(yīng)力系數(shù)6值時(shí)，可得到一些不合理的結(jié)果（sin(b >1)，如表2所示。

由此可知，有必要從廣義Mises準(zhǔn)則的函數(shù)性質(zhì)人手，探討中主應(yīng)力系數(shù)對(duì)強(qiáng)度參數(shù)的影響。定義大、小主應(yīng)力之比t=1/3，ttc為三軸壓縮條件下(2=3)的大、小主應(yīng)力比。針對(duì)無(wú)黏性土（k=0），式(1)可變形為式(3)。

對(duì)于一定的大、小主應(yīng)力之比f(wàn)和參數(shù)n值，式(3)表達(dá)的函數(shù)ƒ(b，t)隨中主應(yīng)力系數(shù)6的取值變化而變化，其極值滿足如式(4)所示關(guān)系。

式(3)代入式(4)，可得式(5)。

 分析式(5)知，當(dāng)a=0（對(duì)應(yīng)0=0o）有b1=b2=0.5；當(dāng)O<α≤0.288時(shí)，方程在(0，0.5)和(0.5，1)上取得兩實(shí)數(shù)解，且當(dāng)α=0. 288時(shí)，方程的解為b1=0，b2 =1;當(dāng)a>0. 288時(shí)，方程(5)無(wú)解。

當(dāng)α<0. 288時(shí)，由式(5)得到ƒ(b，t)取極值時(shí)的中主應(yīng)力系數(shù)，表達(dá)式見(jiàn)式(6)、式(7)。根據(jù)式(3)，可得相應(yīng)的大、小主應(yīng)力比t的表達(dá)式(式(8)、式(9))。

可以證明在α<0. 288條件下有關(guān)系tl >t2>ttc且大、小主應(yīng)力比t的最大值為t1其值由式(7a)確定、最小值為b=0時(shí)由式(3)確定的ttc進(jìn)而可以得到考慮中主應(yīng)力系數(shù)6的影響時(shí)的內(nèi)摩擦角b的最值表達(dá)式(式(10)、式(11))。

同理可以分析α≥0. 288時(shí)內(nèi)摩擦角b的最值表達(dá)式，不再詳述。選擇參數(shù)a的表達(dá)式，利用式(10)、式(11)便可以得到考慮中主應(yīng)力系數(shù)6的影響時(shí)的內(nèi)摩擦角b與三軸壓縮試驗(yàn)所得內(nèi)摩擦角0之間的相互關(guān)系。圖1～4描繪了不同參數(shù)表達(dá)式所得的b與0的關(guān)系。

 由圖1～4知，采用DP1類型的參數(shù)不能反映0≥36.9。時(shí)的(b)max，采用DP4類型的參數(shù)不能反映0≥52.7o時(shí)的（b）max，從而利用式(2)，便得出如表2所示的不合理情況；并且采用DP1和DP4類型的參數(shù)得到的（b）max明顯偏大。采用DP2～DP4類型的參數(shù)均有（b）minx≤0這不符合已有的結(jié)論：中主應(yīng)力系數(shù)對(duì)強(qiáng)度指標(biāo)的影響既有放大效應(yīng)又有區(qū)間效應(yīng)。大量試驗(yàn)表明，考慮中主應(yīng)力對(duì)土的抗剪強(qiáng)度的影響時(shí)，土的內(nèi)摩擦角通常增

加2～90。

2第二類：b≥b=0-=b=1  =0，且僅在內(nèi)摩擦角部分范圍上成立

 第二類屬于該類型的破壞準(zhǔn)則有方開(kāi)澤的形變能破壞準(zhǔn)則和Bishop準(zhǔn)則等。

方開(kāi)澤根據(jù)形變能原理提出了形變能破壞準(zhǔn)則，利用該準(zhǔn)則得到的b與0的關(guān)系，見(jiàn)式(12)。

 根據(jù)函數(shù)關(guān)系分析知，b≥b=0=b=1=0且當(dāng)b=0.5時(shí)b取得最大值sin(b)ma=1.1547sin0，利用形變能破壞準(zhǔn)則得到的b與0的關(guān)系見(jiàn)圖5。

 由圖5知，形變能破壞準(zhǔn)則在考慮中主應(yīng)力系數(shù)影響時(shí)得到的b偏大，且不能反映0≥60。時(shí)的（b）max。如取0=65。，由式(12)得到sin（b）max=1. 0465的不合理結(jié)果。

Bishop根據(jù)三軸壓縮與三軸拉伸試驗(yàn)結(jié)果相同，而平面應(yīng)變?cè)囼?yàn)結(jié)果不同的概念，提出了一個(gè)修正的Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，其表達(dá)式見(jiàn)式(13)。

式中：S為由平面應(yīng)變?cè)囼?yàn)確定的參數(shù)。由分析知，依據(jù)Bishop準(zhǔn)則可得b≥b=0=b =1=0，且在b=o．5時(shí)b取得最大值。按文算例取S=2一時(shí)，得到的(b)max與形變能準(zhǔn)則相同，故該準(zhǔn)則也只能反映內(nèi)摩擦角部分范圍上的（b）max。

3  第三類：b≥b=1  b=0 =0，且內(nèi)摩擦角在(0o ,90o)范圍上均成立

 日本松同元等基于空間準(zhǔn)滑動(dòng)面( SMP:Spatial Mobilization Plane)概念所提出的SMP準(zhǔn)

則，屬于此類型。該準(zhǔn)則認(rèn)為當(dāng)空間滑動(dòng)面上剪應(yīng)力smp與正應(yīng)力smp之比達(dá)到某一數(shù)值時(shí)土體發(fā)生剪切破壞，其表達(dá)式可寫(xiě)為式(14)。

當(dāng)b=0或b=l時(shí)，式(14)變形為式(15)。

研究表明，在平面應(yīng)變條件下基于SMP準(zhǔn)則得到的土的強(qiáng)度參數(shù)達(dá)到最大，并且如式(16)所示關(guān)系成立。

把式(16)代入式(14)得到平面應(yīng)變下的玻壞條件，見(jiàn)式(17)。

而在三軸壓縮條件下，根據(jù)Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，得式(18)。

由式(18)可以得到大、小主應(yīng)力比t與內(nèi)摩擦角b的關(guān)系，見(jiàn)式(19)。

 式(15)、式(17)和式(18)表示不同情況下的剪正應(yīng)力比，圖6反映了它們與大、小主應(yīng)力之比t的變化關(guān)系。

一般認(rèn)為，當(dāng)土體所受的剪正應(yīng)力比達(dá)到臨界剪正應(yīng)力比時(shí)，其將要發(fā)生破壞。根據(jù)圖6可知，當(dāng)土體的臨界剪正應(yīng)力比一定時(shí)（如圖中RA點(diǎn)），由SMP準(zhǔn)則得到的大、小主應(yīng)力之比t要比MohrCoulomb準(zhǔn)則的結(jié)果大（圖中ta。、tb，比tc大）。又由式(19)可知，大、小主應(yīng)力之比t的增大會(huì)導(dǎo)致內(nèi)摩擦角b的增大。根據(jù)圖6中的相互關(guān)系可以得到b與0的關(guān)系，如圖7所示。

 由圖7可知，根據(jù)SMP準(zhǔn)則得到的內(nèi)摩擦角b比三軸壓縮試驗(yàn)所得的內(nèi)摩擦角0大0.3～6.9。，這與已有的結(jié)論是一致的。并且該準(zhǔn)則可以反映中主應(yīng)力在內(nèi)摩擦角的變化范圍(0o，90o)上的影響，不存在諸如廣義Mises準(zhǔn)則的區(qū)間有效性。該準(zhǔn)則是針對(duì)無(wú)黏性土提出的，經(jīng)修正后也可以用于黏性土。鑒于SMP準(zhǔn)則能合理的把特定試驗(yàn)條件下的結(jié)果推廣至一般情況及其在偏平面上的軌跡不存在失點(diǎn)，建議有限元軟件中編人該準(zhǔn)則以便進(jìn)行土工計(jì)算。

4  第四類：b≥b=1≥b=0=0且內(nèi)摩擦角在(0o．90o)范圍上均成立

該類準(zhǔn)則既能考慮中主應(yīng)力對(duì)土的抗剪強(qiáng)度的影響，又能反映三軸拉伸強(qiáng)度指標(biāo)大于三軸壓縮強(qiáng)度指標(biāo)。Lade-Duncan單參數(shù)破壞準(zhǔn)則屬于該類型，其表達(dá)式見(jiàn)式(20)。

式中：I1、I3分別為第一應(yīng)力不變量和第三應(yīng)力不變量；k1是與土性有關(guān)的參數(shù)，一般由三軸壓縮試驗(yàn)測(cè)得。利用大、小主應(yīng)力比t和中主應(yīng)力系數(shù)b，可把式(20)變形為式(21)。

根據(jù)式(21)及式(19)可知，三軸壓縮條件下(b=0)測(cè)得參數(shù)k，的表達(dá)式，見(jiàn)式(22)。

當(dāng)大、小主應(yīng)力比t-定時(shí)，函數(shù)ƒ(b，t)隨中主應(yīng)力系數(shù)6的變化而變化，其極值滿足條件式(4)。把式(21)代入式(4)，可得b—0.5。經(jīng)分析知，函數(shù)ƒ(b，t)在6 -0.5處對(duì)應(yīng)的大、小主應(yīng)力之比t取得最大值。b=0.5時(shí)，式(21)變?yōu)槭?23)。

把式(22)代入式(23)，求得tmax后，再把tmax值代入式(19)即可得到利用Lade-Duncan破壞準(zhǔn)則在考慮中主應(yīng)力影響條件下的（b）max。同理可得b =1和b =0，并有關(guān)系式(b)max≥b=1≥b=0=0成立。最后可得b與0的關(guān)系，如圖8所示。

 由圖8可知，基于Lade-Duncan單參數(shù)破壞準(zhǔn)則，得到考慮中主應(yīng)力影響下的強(qiáng)度參數(shù)內(nèi)摩擦角b比三軸壓縮試驗(yàn)得到的內(nèi)摩擦角0大0. 83～12.2o，這與已有的試驗(yàn)結(jié)論基本一致。該準(zhǔn)則也可以反映中主應(yīng)力在內(nèi)摩擦角的變化范圍(Oo，90o)上的影響，不存在諸如廣義Mises準(zhǔn)則的區(qū)間有效性，因此在數(shù)值分析中可以采用該準(zhǔn)則進(jìn)行土工計(jì)算。

3結(jié)  論

 1)廣義Mises準(zhǔn)則反映中主應(yīng)力影響的能力較差。由該準(zhǔn)則得到的（b）max較0明顯偏大，且只能反映部分內(nèi)摩擦角范圍上（b）max；基于該準(zhǔn)則還可得到（b）min≤0，不能體現(xiàn)出中主應(yīng)力的放大效應(yīng)和區(qū)間效應(yīng)。

 2)形變能破壞準(zhǔn)則及Bishop準(zhǔn)則可以反映中主應(yīng)力的放大效應(yīng)和區(qū)間效應(yīng)，但僅只對(duì)部分的內(nèi)摩擦角有效，且放大效應(yīng)過(guò)大。

 3) SMP準(zhǔn)則和Lade-Duncan單參數(shù)破壞準(zhǔn)則基本上可以合理地反映內(nèi)摩擦角在(Oo，90o)范圍上變化時(shí)中主應(yīng)力對(duì)強(qiáng)度參數(shù)的放大效應(yīng)和區(qū)間效應(yīng)。建議有限元軟件中采用此類破壞準(zhǔn)則進(jìn)行土工問(wèn)題數(shù)值分析和計(jì)算。 _