小學(xué)數(shù)學(xué)兩位數(shù)乘法速算法解析
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摘要：小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教授兩位數(shù)乘法教學(xué)中經(jīng)常會向?qū)W生介紹便捷的速算方法，既開拓了學(xué)生思維，又有效地提高了學(xué)生的計算能力。本文嘗試對最為常見的幾種兩位數(shù)乘兩位數(shù)的速算方法進(jìn)行學(xué)理上的分析，以使教師既能知其然，還能知其所以然，便于教師進(jìn)一步有效地向?qū)W生傳授速算的技巧。
論文關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué),教學(xué),兩位數(shù)乘法,速算法
兩位數(shù)乘法是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，教師在教學(xué)中經(jīng)常會教給學(xué)生一些便捷的速算方法。這些速算法既有利于拓展學(xué)生的思維，提高學(xué)生的計算能力，又可以提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，增加學(xué)習(xí)過程的趣味性。因而，不失為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一種有益補(bǔ)充。但作為教師，除了熟記兩位數(shù)乘法速算口訣外，還應(yīng)對兩位數(shù)乘法速算法本身有一學(xué)理上的認(rèn)識，才能對算法本身“知其然且知其所以然”，真正做到心中有數(shù)。
以下是對幾種最常見的兩位數(shù)乘兩位數(shù)速算法的分析，僅供參考。
一、“頭同，尾和10”算法分析
1、速算要領(lǐng)
“頭同，尾和10”算法口訣：頭加1乘頭，兩尾乘積接后頭（不足兩位十補(bǔ)0）。是指個位數(shù)字之和是10，十位數(shù)字相同的兩個兩位數(shù)相乘時，則用第一個兩位數(shù)十位上的數(shù)字加1，乘以第二個兩個位數(shù)十位上的數(shù)字，其乘積構(gòu)成該兩個兩位數(shù)乘積結(jié)果的前兩位；而兩數(shù)個位數(shù)字的乘積，則構(gòu)成該兩個兩位數(shù)乘積的后兩位（如果個位數(shù)的乘積不滿10，則在其乘積結(jié)果前補(bǔ)0形成兩位），再把兩個乘積所形成的兩個兩位數(shù)順序排列，就形成了“頭同，尾合10”兩位數(shù)的乘積結(jié)果。
圖1 尾數(shù)乘積不足兩位算法圖例
圖2 尾數(shù)乘積為兩位算法圖例
2、算法分析
依據(jù)速算口訣，將其轉(zhuǎn)化為科學(xué)計數(shù)法表示為：有（10a+b）與（10a+d）兩個兩位數(shù)相乘，且b+d=10，求證：（10a+b）×（10a+d）=100a（a+1）+b·d。
證明：根據(jù)代數(shù)式（10a+b）×（10a+d）運(yùn)算可得：
（10a+b）×（10a+d）=10a×10a+10ad+10ab+bd=10a×（10a+b+d）+bd
又∵b+d=10
∴10a（10a+b+d）+b·d=10a（10a+10）+b·d=10a×10（a+1）+b·d
故證：（10a+b）×（10a+d）=100a（a+1）+b·d
對結(jié)果的形象表述，即是這一算法的基本口訣：AB和AD兩個兩位數(shù)相乘，且B+D=10。其結(jié)果為四位數(shù)EFGH，其中EF=A·（A+1），GH=B·D。
二、“尾同，頭和10”算法分析
1、速算要領(lǐng)
“尾同，頭和10”算法口訣：頭乘頭加尾，兩尾乘積接后頭（兩尾乘積不足10時在十位上補(bǔ)0）。是指兩個兩位數(shù)相乘時，如果兩數(shù)的個位數(shù)字相同，而十位數(shù)字之和是10，則以兩個兩位數(shù)十位上的數(shù)字相乘后加上任一兩位數(shù)的個位之和，構(gòu)成該兩位數(shù)乘積結(jié)果的前兩位；而用兩位乘數(shù)個位上的乘積（如不滿兩位則在十位補(bǔ)0），則組成該兩位數(shù)乘積結(jié)果的后兩位，再把兩個乘積所形成的兩個兩位數(shù)順序排列就形成了“尾同，頭合10”兩位數(shù)的乘積結(jié)果。
圖3 尾數(shù)乘積不足兩位算法圖例
圖4 尾數(shù)乘積為兩位算法圖例
2、算法分析
依據(jù)速算口訣，將其轉(zhuǎn)化為科學(xué)計數(shù)法則為：有（10b+a）與（10d+a）兩個兩位數(shù)，且b+d=10，求證：（10b+a）×（10d+a）=100（b·d+a）+a·a。
證明：根據(jù)代數(shù)式(10b+a)×（10d+a）運(yùn)算可得：
（10b+a）×（10d+a）=10b×10d+10b×a+a×10d+a·a=10b·10d+10a(b+d)+a·a
又∵b+d=10
∴10b·10d+10a(b+d)+a·a=100b·d+100a+a·a=100×（b·d+a）+a·a
對結(jié)果的形象表述，正是這一算法的基本口訣：BA和DA兩個兩位數(shù)相乘，且B+D=10。其結(jié)果為四位數(shù)EFGH，其中EF=B·D+A，GH=A·A。
三、“尾5，頭和偶”算法分析
1、速算要領(lǐng)
“尾5，頭和偶”算法口訣：頭乘頭加頭和折半，兩尾乘積接后頭。是指在兩數(shù)相乘時，如果個位數(shù)字是5，十位數(shù)字之和是偶數(shù)，則其十位數(shù)之積與十位數(shù)和的一半之和，構(gòu)成該兩位數(shù)乘積的前兩位，而兩數(shù)個位數(shù)之積則構(gòu)成了該兩位數(shù)乘積的后兩位，按順序組合之后，就形成了該兩位數(shù)的乘積。
圖5 “尾5，頭和偶”算法圖例
2、算法分析
依據(jù)速算口訣，將其轉(zhuǎn)化為科學(xué)計數(shù)法則為：尾數(shù)為5的兩個兩位數(shù)(10b+5)與（10d+5），且b與d之和為偶數(shù)，求證：（10b+5）×（10d+5）=100[bd+(b+d)/2]+5×5
證明：根據(jù)代數(shù)式(10b+5)×（10d+5）運(yùn)算可得：
（10b+5）×（10d+5）=10b×10d+10b×5+5×10d+5×5=10b·10d+50×(b+d)+5×5
又∵b+d=偶數(shù)
∴10b·10d+50(b+d)+5×5=100bd+100(b+d)/2+5×5
故證：（10b+5）×（10d+5）=100[bd+(b+d)/2]+5×5
對結(jié)果的形象表述，正是這一算法的基本口訣：尾數(shù)為5的兩位數(shù)B5和D5，且B+D=偶數(shù)。其乘積為四位數(shù)EFGH，其中EF=B·D+(B+D)/2，GH=5×5。
四、“尾5，頭和奇”算法分析
1、速算要領(lǐng)
“尾5，頭和奇”算法口訣：頭乘頭加頭和減1折半，兩尾乘積加50接后頭。是指在兩數(shù)相乘時，如果個位數(shù)字是5，十位數(shù)字之和為奇數(shù)，則其十位數(shù)之積與十位數(shù)和減1后一半之和，構(gòu)成該兩位數(shù)乘積的前兩位，而兩數(shù)個位數(shù)之積再加50則構(gòu)成了該兩位數(shù)乘積的后兩位，按順序組合之后，就形成了該兩位數(shù)的乘積。
圖6 “尾5，頭和奇”算法圖例
2、算法分析
依據(jù)速算口訣，將其轉(zhuǎn)化為科學(xué)計數(shù)法則為：尾數(shù)為5的兩個兩位數(shù)(10b+5)與（10d+5），且b與d之和為奇數(shù)，求證：（10b+5）×（10d+5）=100[bd+(b+d-1)/2]+5×5+50
證明：根據(jù)代數(shù)式(10b+5)×（10d+5）運(yùn)算可得：
�。�10b+5）×（10d+5）=10b×10d+10b×5+5×10d+5×5=100bd+50×(b+d)+5×5
又∵b+d=奇數(shù)，為能被整除，需把奇數(shù)轉(zhuǎn)化成偶數(shù)
∴100bd+50(b+d)+5×5=100bd+50(b+d)-50+5×5+50=10b·10d+50(b+d-1)+5×5+50
故證：（10b+5）×（10d+5）=100[bd+(b+d-1)/2]+5×5+50
對結(jié)果的形象表述，正是這一算法的基本口訣：尾數(shù)為5的兩位數(shù)B5和D5，且B+D=奇數(shù)，則其乘積為四位數(shù)EFGH，其中EF=B·D+(B+D-1)/2，GH=5×5+50。
五、“頭5，尾和偶”算法分析
1、速算要領(lǐng)
“頭5，尾和偶”算法口訣：頭乘頭加尾和折半，兩尾乘積接后頭。是指如果十位數(shù)是5，個位數(shù)字之和是偶數(shù)，可用速算。
圖7 “頭5，尾和偶”算法圖例
2、算法分析
依據(jù)速算口訣，將其轉(zhuǎn)化為科學(xué)計數(shù)法則為：十位數(shù)為5的兩個兩位數(shù)(10×5+b)與（10×5+d），且b與d之和為偶數(shù)，求證：（10b+5）×（10d+5）=100[5×5+(b+d)/2]+b·d
證明：根據(jù)代數(shù)式(10×5+b)×（10×5+d）運(yùn)算可得：
(10×5+b)×（10×5+d）=100×5×5+50b+50d+b·d=100×5×5+50×(b+d)+b·d
又∵b+d=偶數(shù)
∴100×5×5+50×(b+d)+b·d=100×5×5+100×(b+d)/2+b·d
故證：（10b+5）×（10d+5）=100[5×5+(b+d)/2]+b·d
對結(jié)果的形象表述，正是這一算法的基本口訣：十位數(shù)為5的兩位數(shù)5B和5D，且B與D之和為偶數(shù)，則其乘積為四位數(shù)EFGH，其中EF=5×5+(B+D)/2，GH=B·D
六、“頭5，尾和奇”算法分析
1、速算要領(lǐng)
“頭5，尾和奇”算法口訣：頭乘頭加尾和減1折半，兩尾乘積加50接后頭。是指十位為5、個位數(shù)相加之和為奇數(shù)的兩個兩位數(shù)相乘，其十位數(shù)字的乘積與個位數(shù)之和的一半的和，構(gòu)成該兩個兩位數(shù)乘積的前兩位，而兩數(shù)的個位乘積加50的和則構(gòu)成了該兩個兩位數(shù)乘積的后兩位，最后把前兩位與后兩位按順序排列，即形成該兩個兩位數(shù)的乘積。
圖8 “頭5，尾和奇”算法圖例
2、算法分析
依據(jù)速算口訣，將其轉(zhuǎn)化為科學(xué)計數(shù)法則為：
證明：根據(jù)代數(shù)式(10×5+b)×（10×5+d）運(yùn)算可得：
(10×5+b)×（10×5+d）=100×5×5+50b+50d+b·d=100×5×5+50×(b+d)+b·d
又∵b+d=奇數(shù)，為能被整除，需把奇數(shù)轉(zhuǎn)化成偶數(shù)
∴100×5×5+50×(b+d)+b·d=100×5×5+50×(b+d)-50+b·d+50=100×5×5+50(b+d-1)+5×5+50
故證：(10×5+b)×（10×5+d）=100[5×5+(b+d-1)/2]+b·d+50
對結(jié)果的形象表述，正是這一算法的基本口訣：十位數(shù)為5的兩位數(shù)5B和5D，且B與D之和為奇數(shù)，則其乘積為四位數(shù)EFGH，其中EF=5×5+(B+D-1)/2，GH=B·D+50
七、“和整百”算法分析
1、速算要領(lǐng)
“和整百”算法口訣：一個因素百倍減去它的平方數(shù)。是指兩個相乘的兩位數(shù)，如果兩數(shù)之和正好100，則其乘積為任意一個因數(shù)的100倍與該因素平方之差，即為這兩個兩位數(shù)之乘積。
圖9 “和整百”算法圖例
2、算法分析
依據(jù)速算口訣，將其轉(zhuǎn)化為科學(xué)計數(shù)法則為：有兩個兩位數(shù)A和B，且A+B=100，求證：A·B=100B-B·B或者A·B=100A-A·A。
證明：∵A+B=100
∴A·B=（100-B）·B
故證：A·B=100B-B·B
同理可證：A·B=100A-A·A
對結(jié)果的形象表述，正是這一算法的基本口訣：和為100的兩個兩位數(shù)相乘，其積等于其中一個因素的100倍減去其該因素平方的差。
八、“通用法”算法分析
1、速算要領(lǐng)
“通用法”算法口訣：頭乘頭接尾乘尾，加十倍兩兩頭尾乘積之和。是指毫無規(guī)律的任意兩個兩位數(shù)相乘，其結(jié)果為該兩位數(shù)的十位相乘，所得的結(jié)果與該兩位數(shù)個位相乘的結(jié)果排列成一個三位或四位數(shù)字，在加上該兩位數(shù)內(nèi)項(xiàng)與外項(xiàng)乘積之后的10倍，其結(jié)果就是該兩位數(shù)的乘積。
圖10 十位乘積不足兩位算法
圖11 十位乘積不足兩位算法
2、算法分析
依據(jù)速算口訣，將其轉(zhuǎn)化為科學(xué)計數(shù)法則為：有任意兩個兩位數(shù)（10a+b）與（10c+d），求證：（10a+b）×（10c+d）=100ac+bd+10（bc+ad）。
證明：根據(jù)代數(shù)式（10a+b）×（10c+d）運(yùn)算可得：
（10a+b）×（10c+d）=100ac+10ad+10bc+bd
故證：（10a+b）×（10a+d）=100ac+bd+10（bc+ad）
對結(jié)果的形象表述，即是這一算法的基本口訣：任意兩個兩位數(shù)AB和CD相乘，其結(jié)果為EFGH+10IJ。其中，EF=A·C，GH=B·D，IJ=B·C+A·D.
以上速算方法比較直觀簡單，在教學(xué)中需將速算口訣詳加講述與說明，在學(xué)生掌握后，兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法結(jié)果便可以在很短時間內(nèi)迅速準(zhǔn)確地計算出來。
參考文獻(xiàn)：
①王仕堯.兩位數(shù)乘兩位數(shù)速算簡介[J].四川教育.1986,2.
