芻議積分中值定理的改進和應用
摘要：本文在《數(shù)學分析》（華東師大版）所敘述的第一、第二積分中值定理和前人對積分中值定理所作的改進的基礎上，進一步把定理中的條件進行加強，從而得到一個更精細的定理，并分別從四個方面闡述了積分中值定理的應用。
論文關鍵詞：積分中值定理,函數(shù),連續(xù),單調,區(qū)間
中占有重要的地位。
一、 積分中值定理的敘述
定理
：（推廣的積分第一中值定理）
若函數(shù)
與
在閉區(qū)間
上連續(xù)，且在上不變號，則在上至少存在一點
，使
。特別地，當g(x)=1時有
定理
：（積分第二中值定理）
若函數(shù)在在區(qū)間非負單調遞減，為可積函數(shù)，則存在
。
定理
：若在上
且單調遞增，
為可積函數(shù), 則存在
.
定理
（推論）：若在上為單調函數(shù)，為可積函數(shù)，則存在
。
二、 積分中值定理的改進
將第一中值定理進行改進和加強得到：
定理
：若函數(shù)在閉區(qū)間
上連續(xù)，在上連續(xù)且不變號，則在
內至少存在一點，使。特別地，當=1時有，
現(xiàn)在我們在此基礎上將定理5中的條件進行加強，從而得到：
定理6：若函數(shù)在閉區(qū)間上嚴格單調且連續(xù)，而在上可積不變號，則在
內存在唯一一點，使。特別地，當=1時有
證明：在區(qū)間中作映射T：
=
+
，不妨設嚴格單調遞增（嚴格單調遞減的情況可類似證明），則
< <
,那么
C,從而T是到自身的映
。又對于
，有：
因為在上嚴格單調遞增，所以
，故必存在一個數(shù)
，使得
成立。因此有：
=
，
從而T是到自身的壓縮映像，由Banach不動點原
，存在唯一一點
，即
從而得，定理得證。
三、 積分中值定理的應用
�。�. 在具有某些性質的點的存在問題中的應用
在積分學的學習過程中，有關定積分具有某些性質的點的存在問題的論證是一個難點。一般，我們應仔細觀察被積函數(shù)所具有的性質，注意利用微分中值定理、積分中值定理等途徑來證明有關問題。
例1 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且
，證明：
在內至少存在兩點
。
在
中已用Rolle定理給出了一個證明，而本文將利用積分中值定理來證明。
分析：很明顯=0在閉區(qū)間上至少存在一個根，那么我們采用反證法，即證=0在上不可能只存在唯一的一個根。利用積分中值定理推出矛盾，從而證明命題。
證明一：
由
，即=0至少存在一個根。
假設在內=0只有一個根，則由有：
（1）
因為
與在
及
連續(xù)，且由假設知在
及
上不變號。
由定理5得：存在
使得
而
，于是我們得到
，這與
矛盾。即證在內至少存在兩點。
證明二：假設在內=0只有一個根，由
知f(x)在
內異號。設在
，而
=為單調遞增函數(shù)，所以
這與矛盾。
例2 設函數(shù)二次可微，且
嚴格單調，證明：在內存在唯一的一點
，使得
。
在
中有一個類似的例題，聯(lián)想到定理6，本文的將其中的條件作減弱，將“具有二階連續(xù)導數(shù)”改為“二次可微”，然后利用定理6給予證明。
分析：由題目的條件和結論，我們首先想到將在=
處用Taylor公式展開，然后對展開式的兩邊在區(qū)間上同時積分，然后利用積分中值定理和定理6推出結論。
證明：令
=，在=
處用Taylor公式展開得：
，其中
介于
與
之間。
即
（２）
對（２）式兩邊在區(qū)間上同時積分得
（3）
其中
。而|ke
yimg150|雖然不一定連續(xù)，但導數(shù)具有介值性
，因而由定理6得：存在唯一的點
，使得
=
（４）
將（４）式代入（３）即得
，即證。
�。�.在積分不等式證明中的應用
積分不等式是指不等式中含有兩個以上積分的不等式，當積分區(qū)間相同時，先合并同一積分區(qū)間上的不同積分，根據(jù)被積函數(shù)所滿足的條件，靈活運用積分中值定理，以達到證明不等式成立的目的。
例3若函數(shù)在閉區(qū)間上嚴格單調遞減且連續(xù)，
的大小關系。
在
中給出了函數(shù)在閉區(qū)間上嚴格單調遞增且連續(xù)的情況下的證明，本文則討論在閉區(qū)間嚴格單調遞減且連續(xù)的情況。
分析：將作差得
，那么我們只要討論的值與“0”的大小關系即可。下面我們用三種方法來證明。
證明一：設函數(shù)
，其中
。顯然在區(qū)間
上，函數(shù)
是單調遞減且非負的，在區(qū)間
上，函數(shù)是單調遞增且非負的。由定理2和定理3知， 
使得
（5）
使得
（6）
�。�6）-（5）得
=
（7）
又
使
，且
，由定積分的幾何意義知
，因此，由（7）式得
即
，而
，移項即有
。
證明二：設函數(shù)，其中，顯然函數(shù)在區(qū)間上可積，又函數(shù)在區(qū)間上遞減連續(xù)，根據(jù)定理4可得，存在
（8）
顯然在區(qū)間
上，函數(shù)
是單調遞減且非負的，在區(qū)間
上，函數(shù)是單調遞增且非負的，故（8）式可變?yōu)椋?br>
由定積分的幾何意義知：
，
同時，
,于是
即
。
證明三：取c=
,再設，在上單調遞減連續(xù),且在及上不變號，由定理6得：存在唯一的
使得
，這里
；
存在唯一的
使得
，這里
.
且由于在上單調遞減，所以
。
而
，故
=
即有
，移項即有
。
從上面的三種證明過程可以看出，證明一和證明二都是由積分中值定理得出的結論，而證明三是由定理6（即改進后的積分中值定理）得出的結論，比較兩者我們不難看出定理6（即改進后的積分中值定理）的優(yōu)越性。
例4 設的導函數(shù)在［０，１］上連續(xù)，證明：
。
分析：將
拆分成
，又因為的導函數(shù)在
上連續(xù),所以在
必存在最大值點和最小值點，分別設為
，那么我們可以得到=
+
，然后通過計算，由積分中值定理即證。
證明：記
＝
，
，則有
+＝
+
+
（９）
由積分中值定理，存在
，使得＝
，所以－
，故再由（９）式有
．即證。
3. 在與積分極限有關的問題中的應用
無論是在數(shù)列極限，還是函數(shù)極限的計算中，如果含有定積分式子，首先用定積分的相關知識，如積分中值定理等，把積分式簡化，然后再運用解決極限問題的各種方法，就能達到解決問題的目的。
例5設在[A,B]上連續(xù)，
,求
.
分析：此題在
中將變形為
，然后用洛必達法則解得答案，本文我們可以將變形為
，再用變量代換變?yōu)?img onload="if(this.width>600) this.width=600" src="/images-w/news_dt/2016-04/20160407-3802-205058.png" alt="函數(shù)" />，然后用積分中值定理也可以得到相同答案。
解：
==
=
=
，其中
介于
與
之間，
介于
與
之間。所以當
時，有
，故=
.
例6 設是[0,2
]的連續(xù)函數(shù)，證明：
=|k
eyimg293|。
分析：此題是黎曼引理的一個具體應用，其中取
,由黎曼引理可得結論，這里我們用積分中值定理來證明結論。
證明：
=
=
=
， 
.
=
又
，所以=
。
4.在與收斂有關的問題中的應用
例7 設函數(shù)
,
為正實數(shù)，證明：
收斂并求其值。
在
中有一個一般的結論，本文在的基礎上令，得到一個具體的結果。
分析：我們先將變?yōu)?img onload="if(this.width>600) this.width=600" src="/images-w/news_dt/2016-04/20160407-3832-205059.png" alt="連續(xù)" />，其次將
變形為
，再利用變量代換將式子變形為
，然后用積分中值定理即可證明。
證明：令
===
=
，由積分中值定理，存在
介于
與
之間，使得
=
=
，所以=
=
收斂，且=0
參考文獻
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