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摘要：目標(biāo)意識(shí)是一種重要的思維策略．在數(shù)學(xué)歸納法中，目標(biāo)意識(shí)的作用特別重要．本文結(jié)合實(shí)例，對(duì)數(shù)學(xué)歸納法中目標(biāo)意識(shí)的定向、調(diào)控、選擇、推理、化簡(jiǎn)、驗(yàn)證等作用，分別進(jìn)行了介紹和論述．
論文關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué),歸納法,目標(biāo)意識(shí),思維策略

　　一、目標(biāo)意識(shí)的定向作用

　　例1（1998年高考題文）用數(shù)學(xué)歸納法證明：

　　

　　證明：⑴當(dāng)n=1時(shí)，左邊，右邊 ，∴n=1時(shí)，等式成立．

　　⑵假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即

　　

　　對(duì)上式兩邊同時(shí)加上得：

　　

　　即當(dāng)n=k+1時(shí),等式成立.由⑴、⑵知，對(duì)任意的，等式都有成立．

　　評(píng)析：上述數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò)程中，為什么只有在等式兩端同時(shí)加上一項(xiàng)

　　，才能使證明過(guò)程比較簡(jiǎn)捷？這是由解題目標(biāo)決定的．在思考第二步證明過(guò)程時(shí)，可先將n=k+1時(shí)要證明的等式：

　　

　　事先寫(xiě)出，作為目標(biāo)，然后與n=k時(shí)假設(shè)成立的等式

　　

　　進(jìn)行比較，就會(huì)發(fā)現(xiàn)n=k+1時(shí)成立的等式左邊多了一項(xiàng)，所以，證明時(shí)應(yīng)該在假設(shè)成立的等式兩端同時(shí)加上這一項(xiàng)，從而確定了證明過(guò)程的思維方向，這正是上述證明方法的來(lái)由．這就是目標(biāo)意識(shí)的定向作用．

　　二、目標(biāo)意識(shí)的調(diào)控作用

　　例2（1993年高考題理）已知數(shù)列： ，Sn為其前n項(xiàng)和，經(jīng)過(guò)計(jì)算得： ，觀察上述結(jié)果，推測(cè)出Sn的計(jì)算公式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

　　解：由已經(jīng)計(jì)算的結(jié)果可以推測(cè)出：．現(xiàn)在對(duì)上式用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：

　�、女�(dāng)n=1時(shí)，等式已經(jīng)成立．

　�、萍僭O(shè)n=k時(shí)，等式成立．當(dāng)n=k+1時(shí)，

　　

　　所以當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立．由⑴、⑵知對(duì)所有的自然數(shù)n,等式都有成立．

　　評(píng)析：把要證明的等式作為目標(biāo)，注意到等式右邊有“1”的特征，就應(yīng)該在證明過(guò)程中始終把“1”保持不變．這樣就會(huì)使證明過(guò)程更簡(jiǎn)單一些，從而有效地把握和控制了證明思路，這就是目標(biāo)意識(shí)的調(diào)控作用．

　　三、目標(biāo)意識(shí)的選擇作用

　　例3用數(shù)學(xué)歸納法證明：“，”的過(guò)程中，從假設(shè)n=k成立到證明n=k+1成立時(shí)，在等式兩端需要乘的是（ ）．

　　（A）（Ｂ）�。ǎ茫��。ǎ模�

　　分析:先把n=k+1時(shí)要證明的等式

　　

　　寫(xiě)出來(lái)當(dāng)作目標(biāo),然后與n=k時(shí)假設(shè)成立的等式

　　

　　進(jìn)行對(duì)比,就會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)等式左面的差異,由此可知需要乘的代數(shù)式是．所應(yīng)該選（Ｃ）．這就是目標(biāo)意識(shí)的選擇作用．

　　四、目標(biāo)意識(shí)的分析作用

　　例4（1992年高考題理）證明不等式：

　　證明：⑴當(dāng)n=1時(shí)，左面=1，右面=2，不等式成立．

　　⑵假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即

　　，對(duì)此式兩端同時(shí)加上得：

　　，

　　又，

　　．

　　即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．由⑴、⑵知對(duì)于任意，不等式都成立．

　　評(píng)析：上述證明過(guò)程中，對(duì)分子進(jìn)行放大

　　這一步是不容易想到的．對(duì)此可以用目標(biāo)意識(shí)進(jìn)行分析．先把寫(xiě)出n=k+1時(shí)要證明的不等式，并作為目標(biāo)，觀察不等式右面就可以看出，必須證明不等式成立，即只需證明不等式，即證明．由基本不等式知，最后這個(gè)不等式成立．

　　這樣用目標(biāo)意識(shí)進(jìn)行逆向分析，就能迅速找到解題思路，較快地解決關(guān)鍵的一步．這就是目標(biāo)意識(shí)的分析作用．

　　五、目標(biāo)意識(shí)的推理作用

　　例4用數(shù)學(xué)歸納法證明： （）

　　證明：⑴當(dāng)n=1時(shí)，左面=，右面=，成立．

　�、萍僭O(shè)n=k時(shí)，成立．當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)?br>
　　

　　即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．由⑴、⑵知對(duì)于任意，不等式都成立．

　　評(píng)析：在上述證明過(guò)程中，只所以要用不等式、進(jìn)行放大消去、．這是因?yàn)橐�證明的目標(biāo)不等式的右面沒(méi)有、．可見(jiàn)利用目標(biāo)意識(shí)就能正確推理，使證明過(guò)程能夠順利進(jìn)行．這就是目標(biāo)意識(shí)的推理作用．

　　六、目標(biāo)意識(shí)的化簡(jiǎn)作用

　　例4設(shè)sinα≠0,對(duì)于任意用數(shù)學(xué)歸納法證明：

　　．

　　證明：⑴當(dāng)n=1時(shí)，左面=，右面=，等式成立．

　　⑵假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即

　　．當(dāng)n=k+1時(shí)，就有

　　

　　這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．根據(jù)⑴、⑵知對(duì)于任意，等式都成立．

　　評(píng)析：這是高中代數(shù)課本下冊(cè)等121頁(yè)的內(nèi)容，課本中給出的證明過(guò)程有點(diǎn)繁．如果運(yùn)用目標(biāo)意識(shí)進(jìn)行分析，那么就能簡(jiǎn)化證明過(guò)程．先把n=k+1時(shí)，要證明的等式

　　

　　寫(xiě)出作為目標(biāo)，進(jìn)行觀察，因?yàn)樯鲜接疫叺姆肿又杏?img onload="if(this.width>600) this.width=600" src="http://www.lunwenf.com/d/file/picture/2016/0327/56.058.png" />,所以在證明過(guò)程中就應(yīng)該把保留，按下面的方法進(jìn)行變形：

　　

　　這樣就會(huì)使證明過(guò)程簡(jiǎn)單一些，這就是目標(biāo)意識(shí)的化簡(jiǎn)作用．

　　七、目標(biāo)意識(shí)的驗(yàn)證作用

　　例7（1989年高考題）是否存在常數(shù)a、b、c使得等式：

　　對(duì)于一切自然數(shù)n都成立，并用證明你的結(jié)論．

　　解：分別取n=1、2、3，就可以求得a=3、b=11、c=10，于是對(duì)于n=1、2、3等式

　　成立．

　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于一切自然數(shù)n，這個(gè)等式都成立．

　�、女�(dāng)n=1時(shí)，等式已經(jīng)成立．

　�、萍僭O(shè)n=k時(shí)，等式成立，即

　　

　　當(dāng)n=k+1時(shí),對(duì)上式兩端同時(shí)加上得：

　　

　　評(píng)析：在上述證明過(guò)程進(jìn)行到倒數(shù)第二步時(shí)，即得到時(shí)，不容易判斷推理過(guò)程是否正確．這時(shí)就可以先把要證明的等式寫(xiě)出來(lái)：

　　

　　作為目標(biāo)，并將右邊方括號(hào)中的展開(kāi)并化簡(jiǎn)然后相互進(jìn)行比較，就能驗(yàn)證推理過(guò)程是否正確．這就是目標(biāo)意識(shí)的驗(yàn)證作用．

參考文獻(xiàn)：
1、曹平原 《目標(biāo)意識(shí)在數(shù)學(xué)歸納法中的作用》（數(shù)學(xué)大世界）1999年第3期．
2、曾曉新 烏玫 《分析目標(biāo)比較差異實(shí)現(xiàn)解題》（數(shù)學(xué)通訊）1999年第９期．