淺析量子阱中弱耦合束縛極化子的性質(zhì)
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摘要：采用線性組合算符、變分相結(jié)合的方法和采用改進(jìn)的線性組合算符、變分相結(jié)合的方法研究了無(wú)限深量子阱中弱耦合束縛極化子的性質(zhì)。導(dǎo)出了無(wú)限深量子阱中束縛極化子的基態(tài)能量隨庫(kù)侖束縛勢(shì)、阱寬和拉格朗日乘子的關(guān)系。通過(guò)數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明：基態(tài)能量隨著庫(kù)侖束縛勢(shì)、阱寬和拉格朗日乘子的增大而減小。
論文關(guān)鍵詞：量子阱,線性組合算符,束縛極化子,基態(tài)能量
近年來(lái)，隨著材料生長(zhǎng)的技術(shù)發(fā)展，尤其是納米技術(shù)飛速發(fā)展，極大地推進(jìn)了對(duì)低維系統(tǒng)的廣泛研究。人們利用分子束外延技術(shù)(MBE)、金屬有機(jī)化學(xué)氣相技術(shù)(MOCVD) 和化學(xué)自組裝技術(shù)等已經(jīng)可以制造出各種如量子點(diǎn)、量子阱和量子線等納米結(jié)構(gòu)。這是半導(dǎo)體物理及材料科學(xué)的重大突破。量子阱中的電子在一個(gè)方向上受到很強(qiáng)的限制，因此，和晶體相比較，量子阱中的束縛極化子效應(yīng)更加明顯。所以量子阱中的束縛極化子引起了學(xué)者們的廣泛研究[1~3]，Chen 等[4]運(yùn)用 Landau - Pekar 變分法研究了量子阱中束縛極化子的基態(tài)性質(zhì)。Comas等[5]和Buacker等[6]運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)的微擾理論討論了量子阱中極化子和磁極化子的自能。Ren 等[7]運(yùn)用 Feynman-Haken 路徑積分理論計(jì)算了處于庫(kù)侖勢(shì)中拋物量子阱內(nèi)極化子的基態(tài)能量。Stopa 等[8]運(yùn)用數(shù)值求解薛定諤方程的方法 ,計(jì)算了基態(tài)能量和激發(fā)態(tài)結(jié)合能。劉偉華等[9]采用有效質(zhì)量近似下的變分法研究了量子阱中極化子的聲子平均數(shù)。然而，到目前為止，應(yīng)用改進(jìn)的線性組合算符和變分相結(jié)合的方法研究量子阱中束縛極化子性質(zhì)的研究者[10，11]很少。本文采用采用改進(jìn)的線性組合算符和變分相結(jié)合的方法研究了無(wú)限深量子阱中弱耦合束縛極化子的性質(zhì)，并討論了量子阱中束縛極化子的基態(tài)能量在不同的庫(kù)侖束縛勢(shì)
、電子-LO聲子的耦合強(qiáng)度
和阱寬d條件下隨拉格朗日乘子u的變化關(guān)系。
2 理論
考慮一個(gè)在
范圍內(nèi)無(wú)限高勢(shì)壘的量子阱和 電子在
范圍內(nèi)充滿極性半導(dǎo)體的量子阱中運(yùn)動(dòng)，并與極性半導(dǎo)體的LO聲子場(chǎng)相互作用。選擇平行于交界面的平面為x-y平面，阱心為原點(diǎn)。在理論推導(dǎo)中， 僅考慮了電子和LO聲子的相互作用，忽略了IO聲子的影響。利用Fr
hlich極化子理論[10]， 將系統(tǒng)的哈密頓量[12]寫成：
(1)
其中
，
，
（2）
, (3)
(4)
其中
，
分別為具有波矢 
的聲子的產(chǎn)生和湮滅算符，
為 真空的介電常數(shù)。
是電子的動(dòng)量，系統(tǒng)的總動(dòng)量
， 
=（
，z）是電子的位置矢量，m為電子的帶質(zhì)量，
是LO聲子的頻率， 
由下式?jīng)Q定
(5)
是半導(dǎo)體的體積， 其中無(wú)量綱耦合強(qiáng)度
可以表示為：
(6)
，
分別為半導(dǎo)體材料的靜態(tài)和高頻介電常數(shù)。
在絕熱近似條件下，對(duì)電子的橫向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量和坐標(biāo)引進(jìn)改進(jìn)的線性組合算符[13]
，（j=x,y ） （7）
其中
是極化子的振動(dòng)頻率，取為變分參量，
為 變分參量。
將式(2)中的庫(kù)侖雜質(zhì)勢(shì)作級(jí)數(shù)展開(kāi)[11]
（8）
對(duì)哈密頓量進(jìn)行幺正變換
（9）
(10)
則哈密頓量變?yōu)?br>
=
+
+
+
+
+
-
+
+ 
-
-
-
(11)
(12)
式(12)表示電子在反沖效應(yīng)中發(fā)射和吸收不同波矢之間的相互作用而引起的附加能量，可以忽略。則該體系的哈密頓量的期待值為
+
+
+
+
-
（13）
對(duì)
變分得到
（14）
對(duì)
變分得到
（15）
將式（14）、（15）代入式（13）,并用求和變積分的方法解得
（16）
其中 
由極值條件
，可得
（17）
將式（17）代入式（16），最后得到無(wú)限深量子阱中弱耦合束縛極化子的基態(tài)能量為
（18）
3 數(shù)值計(jì)算
采用改進(jìn)的線性組合算符與變分相結(jié)合的方法研究了電子-LO聲子在弱耦合情況下無(wú)限深量子阱中束縛極化子的基態(tài)能量
，式（18）表明：無(wú)限深量子阱中強(qiáng)耦合極化子的基態(tài)能量不僅與庫(kù)侖束縛勢(shì)
、電子-LO聲子耦合強(qiáng)度
、阱寬d有關(guān)， 還和拉格朗日乘子
有關(guān)。為了更清楚說(shuō)明它們之間的關(guān)系，通常取極化子單位（
），以
為長(zhǎng)度單位，
為能量單位[14]，通過(guò)數(shù)值計(jì)算。其結(jié)果表示為圖1至圖3。
圖1 束縛極化子的基態(tài)能量E0隨拉格朗日乘子u的關(guān)系
圖1描繪了弱耦合情況下庫(kù)侖束縛勢(shì)=7，=9，耦合強(qiáng)度
=1，阱寬d=2單位長(zhǎng)度時(shí)，量子阱中束縛極化子基態(tài)能量隨拉格朗日乘子的變化曲線。由圖可見(jiàn)，在不同的庫(kù)侖束縛勢(shì)下，基態(tài)能量隨拉格朗日乘子的增大而減�。辉诶窭嗜粘俗�較小時(shí)基態(tài)能量變化很緩慢，在較大時(shí)基態(tài)能量變化比較明顯。
圖2 束縛極化子的基態(tài)能量E0隨拉格朗日乘子u的變化關(guān)系
圖2表示弱耦合情況下庫(kù)侖束縛勢(shì)=8，耦合強(qiáng)度
=0.1，
=1，阱寬d=2單位長(zhǎng)度時(shí)，量子阱中束縛極化子基態(tài)能量隨拉格朗日乘子的變化曲線。由圖可見(jiàn)，在不同的耦合強(qiáng)度下，基態(tài)能量隨拉格朗日乘子的增大而減��；在拉格朗日乘子較小時(shí)基態(tài)能量變化很緩慢，在拉格朗日乘子較大時(shí)基態(tài)能量變化比較顯著。
4 結(jié)論
采用改進(jìn)的線性組合算符及變分相結(jié)合的方法研究了量子阱中弱耦合極化子的性質(zhì)。導(dǎo)出了無(wú)限深量子阱中束縛極化子的基態(tài)能量、庫(kù)侖束縛勢(shì)、電子-LO聲子的耦合強(qiáng)度、阱寬d和拉格朗日乘子的關(guān)系。通過(guò)數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明：基態(tài)能量在不同的電子-LO聲子的耦合強(qiáng)度、庫(kù)侖束縛勢(shì)、阱寬d下隨拉格朗日乘子的增大而減小。
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