關(guān)于一類線性極值定理的推廣及應(yīng)用研究
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摘要：線性極值定理問題即為求函數(shù)的極大值和極小值問題：它不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的重要課題,而且也是自然科學(xué)、工程技術(shù)、國(guó)民經(jīng)濟(jì)以及生活實(shí)踐中的常見數(shù)學(xué)問題.本文著重對(duì)任意多個(gè)因子的積的極大定理問題,任意多項(xiàng)和的極小定理問題及極大極小定理問題的互逆性的有關(guān)定理進(jìn)行了推廣,并舉例說明了其簡(jiǎn)單應(yīng)用.
論文關(guān)鍵詞：線性極值定理,推廣,應(yīng)用
文獻(xiàn)[1]給出了任意多個(gè)因子的積的極大問題,任意多項(xiàng)和的極小問題及極大極小問題的互逆性的有關(guān)定理及應(yīng)用.本文在此基礎(chǔ)上,從有限多個(gè)未知數(shù)推廣到n個(gè)未知數(shù),使之在一定程度上更能適應(yīng)有關(guān)極值問題的求解.
1 任意個(gè)因子的積的線性極大問題的推廣
1 幾個(gè)引理
引理1[1] 設(shè)X1 、X2 、X3 ……Xn是n個(gè)正變數(shù),如果它們的和是定值,那么它們的積,當(dāng)n個(gè)因子都相等時(shí)是極大.
引理2[1] 設(shè)X1 、X2 、X3 ……Xn滿足線性方程
A1 X1+A2 X2 +A3 X3+……+AnXn=B,
其中系數(shù)A1 、A2、 A3 …… An以及B都是給定的正常數(shù),那么積
P=X1 X2 X3……Xn ,
當(dāng)A1 X1=A2 X2 =A3 X3=……=AnXn時(shí)是極大.
引理3[1] 如果正變量X1 、X2 、X3的和是定值,那么積X1x
X2 x
X3x
當(dāng)變量X1 、X2 、X3同指數(shù)x、x、x成比例時(shí)是極大，其中x、x、x是給定的正有理數(shù).
引理4[1] 設(shè)正變量X1 、X2 、X3滿足線性方程
A1 X1+A2 X2 +A3 X3=B,
其中A1 、A2、 A3及B都是給定的正常數(shù),那么積
P =X1x X2 xX3x,
當(dāng)
=
=
時(shí)是極大，其中x、x、x是正有理數(shù).
1．2 主要推廣結(jié)果
定理1 若正變量X1 、X2 、X3 ……Xn的和是定值，那么積X1x X2 xX3x……Xnx
當(dāng)變量X1 、X2 、X3 ……Xn同指數(shù)x、x、x……xn成比例時(shí)是極大，其中x、x、x……xn是給定的有理數(shù).
證明 因?yàn)閤、x、x……xn可能為正整數(shù)也可能為正分?jǐn)?shù)，但無論哪種都可表示為正分?jǐn)?shù)的形式，在這里我們把x、x、x……xn變成有最小公分母的D：
x=
, x=
, x=
, …… , xn=
,
于是把積寫成：
P=X1xX2 xX3x……Xnx=X1
X2
X3
……Xn
=
,
可見得積P同積X1x
X2 x
X3x
……Xnx
同時(shí)極大,
而積X1x
X2 xX3x……Xnx又同積
P
=
=(
)
(
)
(
)
……(
)
,
同時(shí)極大，但P是x
+ x
+ x
+……x
個(gè)正因子的積，而這些因子的和
x+ x+ x+……x=X1 +X2 +X3 +……+Xn=B,
是定值，因此，由引理1知，積P 當(dāng)===……=時(shí)，
即當(dāng)
=
=
=……=
時(shí)是極大，從而積P也當(dāng)這時(shí)是極大.
定理證畢.
定理2 設(shè)正變量x、x、x……xn滿足線性方程
A1X1+A2X2 +A3X3+……+AnXn=B, (1)
其中A1 、A2、 A3 …… An以及B都是給定的正常數(shù),那么積
P = X1x X2 xX3x……Xnx, (2)
當(dāng)===……=
時(shí)極大，其中x、x、x……xn是正有理數(shù).
證明 事實(shí)上我們有（2）可得：
P=
,
可見積P,同積
P
=
,
同時(shí)極大.
因此，可令x= 
， x= 
， x= 
，…… ，x= 
,
那么（1）可化為：
X+X+ X+……X=B,
是定值，因而由定理1知當(dāng)
=
=
=……=
時(shí)
即當(dāng)===……=時(shí)，積
X
X
X
……
X
=,
是極大，從而P也在此時(shí)達(dá)到極大.
定理證畢.
2 任意多項(xiàng)和的線性極小問題的推廣
2．1 幾個(gè)引理
引理5[1] 如果n個(gè)正變數(shù)X1 、X2 、X3 ……Xn的積是定值,那么他們的和，當(dāng)這些數(shù)相等時(shí)是極大.
引理6[1] 如果n個(gè)正變數(shù)X1 、X2 、X3 ……Xn的積是定值k，那么和A1 X1+ A2 X2 +A3 X3+……+AnXn，當(dāng)A1 X1=A2 X2 =A3 X3=……=AnXn時(shí)是極小，其中系數(shù)A1 、A2、 A3 …… An以及k都是給定的正常數(shù).
引理7[1] 如果積X1x X2 xX3x是定值，其中X1 、X2 、X3是正變數(shù)，而指數(shù)x、x、x是給定的正有理數(shù)，那么和X1 +X2 +X3，當(dāng)變數(shù)X1 、X2 、X3同指數(shù)x、x、x成比例時(shí)是極小.
引理8[1] 設(shè)積X1x X2 xX3x是定值k，其中X1 、X2 、X3是正變數(shù)，而指數(shù)x、x、x是給定的正有理數(shù)，那么和A1X1+A2 X2 +A3 X3 ,當(dāng)==時(shí)是極小，其中A1 、A2、 A3 都是正數(shù).
2.2 主要推廣結(jié)果
定理3 如果積X1x X2 xX3x……Xnx是定值，其中X1 、X2 、X3 ……Xn是正變數(shù)，而指數(shù)x、x、x……xn是給定的正有理數(shù)，那么和X1 +X2 +X3 +……+Xn ，當(dāng)變數(shù)X1 、X2 、X3 ……Xn同指數(shù)x、x、x……xn成比例時(shí)是極小.
證明 假設(shè)
S=X1 +X2 +X3 +……+Xn , (3)
X1x X2 xX3x……Xnx=k,
其中k是給定的正數(shù).
因?yàn)閤、x、x……xn可能是正整數(shù)也可能是正分?jǐn)?shù)，但考慮正整數(shù)亦可表示成正分?jǐn)?shù)的情形，因此把x、x、x……xn變成有最小公分母D的分?jǐn)?shù)：
x=, x=, x=, …… , xn=,
于是（3）變?yōu)椋?br>
S=
+
+
+……+
,
即：
S=x+ x+ x+……x,
即：
S=
+
+
+……+
,
于是和S成為x+ x+ x+……x項(xiàng)的和，這些項(xiàng)的積
+
+
+……+
= ()()()……(),
是定值，等于
,
因此，由引理事知，和S 當(dāng)===……=時(shí)，
即：===……=時(shí)是極小.
定理證畢.
定理4 設(shè)積X1x X2 xX3x……Xnx,是定值k，即：
X1x X2 xX3x……Xnx=k，
其中X1 、X2 、X3 ……Xn是正變數(shù)，而指數(shù)x、x、x……xn是給定的有理數(shù)，那么和
A1 X1+A2 X2 +A3 X3+ ……+An Xn ,當(dāng)===……=時(shí)極小，
其中A1 、A2、 A3 、…… An都是正常數(shù).
證明 事實(shí)上，設(shè)x= ， x= ， x= ，……，x= ,
那么積X X X…… X是定值：
X X X…… X＝（
）k,
因而由定理3知，和X+X+ X+……X, 當(dāng)===……=時(shí)極小.
定理證畢.
3 線性極大極小問題的互逆性的推廣
引理9[1] 設(shè)f(X1 、X2 、X3), g(X1 、X2 、X3)是正變數(shù)X1 、X2 、X3的二個(gè)函數(shù)，A是一個(gè)給定的數(shù)，若當(dāng)X1 、X2 、X3在條件
f(X1 、X2 、X3)=A,
之下時(shí)，g(X1 、X2 、X3)有一最大值，設(shè)為
g(X1 、X2 、X3)=B（B依賴于A）
而且當(dāng)A增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的B也增大，那么，當(dāng)X1 、X2 、X3在條件
g(X1 、X2 、X3)=B,
之下時(shí)，f(X1 、X2 、X3)就有一最小值
f(x、x、x)=A.
定理5 設(shè)f(X1 、X2 、X3 ……Xn), g(X1 、X2 、X3 ……Xn)是正變數(shù)X1 、X2 、X3 ……Xn的二個(gè)函數(shù)，A是一個(gè)給定的數(shù)，若當(dāng)X1 、X2 、X3 ……Xn在條件
f(X1 、X2 、X3 ……Xn)=A, (4)
之下時(shí)，g(X1 、X2 、X3 ……Xn)有一最大值，設(shè)為
g(X1 、X2 、X3 ……Xn)=B（B依賴于A）,
而且當(dāng)A增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的B也增大，那么，當(dāng)X1 、X2 、X3 ……Xn在條件
g(X1 、X2 、X3 ……Xn)=B, (5)
之下時(shí)，f(X1 、X2 、X3 ……Xn)就有一最小值
f(x、x、x……xn)=A.
證明 設(shè)變數(shù)X1 、X2 、X3 ……Xn滿足條件（5），那么在函數(shù)f(X1 、X2 、X3 ……Xn)所取的一切值中必有值A(chǔ)，但是f(X1 、X2 、X3 ……Xn)必不能取到小于A的值.
若假設(shè)A
小于A那么X1 、X2 、X3 ……Xn在條件
f(X1 、X2 、X3 ……Xn)= A, (6)
之下時(shí)，函數(shù)g(X1 、X2 、X3 ……Xn)對(duì)應(yīng)的最大值設(shè)為B,
則B必小于B
因此，滿足條件（6）的X1 、X2 、X3 ……Xn的值必不滿足（5）.
所以在條件（5）之下，f(X1 、X2 、X3 ……Xn)必不能取到小于A的值，只能取到A，故在條件（5）之下，函數(shù)f(X1 、X2 、X3 ……Xn)的最小值是A.
定理證畢.
4 線性極值定理的應(yīng)用
例1
設(shè)
A1 X1+A2 X2 +A3 X3+……+AnXn=B，
其中系數(shù)A1 、A2、 A3 …… An以及B都是給定的正常數(shù)，試求積X1AX2 AX3A……XnA的最大值?
解 由定理2知，積X1AX2 AX3A……XnA,當(dāng)
=
=
=……=
時(shí)
即：當(dāng)X1 =X2 =X3 =……=Xn時(shí)極大，由此得：
X1 =
，X2 =
，…… , Xn =,
而積X1AX2 AX3A……XnA的最大值是（
）
.
例2 設(shè)
X1AX2 AX3A……XnA=B，
其中其中系數(shù)A1 、A2、 A3 …… An以及B都是給定的正常數(shù)，試求A1 X1+A2 X2 +A3 X3+……+AnXn的最小值?
解 由定理4知，和A1 X1+A2 X2 +A3 X3+……+AnXn ,當(dāng)===……=時(shí)，即：當(dāng)X1 =X2 =X3 =……=Xn時(shí)極小，由此得：
X1=log
，X2=log
，…… , Xn=log ,
而和A1 X1+A2 X2 +A3 X3+……+AnXn的最小值為log
.
例3 在同面積的所有長(zhǎng)方形中，求容積是最大的一個(gè)？反過來在同容積的所有長(zhǎng)方形中，求面積是最小的一個(gè)?
解 設(shè)2S是所考慮的所有長(zhǎng)方形的共同面積，x、y、z是其中任一個(gè)的長(zhǎng)、寬、高，那么有：
2S=2xy+2xz+2yz,
即：
xy+xz+yz= S,
設(shè)V是長(zhǎng)方形的容積，那么有V=xyz，則：
V
=x2y2z2=xy yz zx≤（
）
,
當(dāng)且僅當(dāng)xy=yz=zx=
時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)V為最大，即：
V
=
,
這時(shí)x=y=z=
，故
V
=
，此時(shí)x=y=z=,
反過來，體積V=xyz為定值.面積
2S=2（xy+xz+yz）≥2 3
=6
=6
,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=
時(shí)等號(hào)成立.
因此面積最小的一個(gè)面積為6，此時(shí)x=y=z=.
參考文獻(xiàn)
[1]范會(huì)國(guó).幾種類型的極值問題[M].北京：科學(xué)出版社，2002.
[2]王安民.線性極值題解[M].西安：陜西人民出版社，2001.
[3]李永樂.線性代數(shù)輔導(dǎo)講義[M].北京：新華出版社，2007.
[4]許芬英.高中數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽教程[M].杭州：浙江教育出版社，2004.
[5]虞金龍.高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽2000題[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2006.
[6]張慧欣.最新高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題分類精編[M].北京：開明出版社，2000.
[7]黃玉民.世界數(shù)學(xué)奧林匹克解題大辭典[M].石家莊：河北少兒出版社，2003.
[8]王生.華羅庚數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽集訓(xùn)教材(高中)[M].北京：知識(shí)出版社，2003.
