淺析非線性系統(tǒng)最優(yōu)控制理論
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摘要：非線性系統(tǒng)，其最優(yōu)控制求解相當(dāng)困難，尋求近似的最優(yōu)控求解方法是當(dāng)下解決這一問(wèn)題的主要途徑。目前，比較成熟的最優(yōu)控制求解方法主要有七類，本文對(duì)這七種方法進(jìn)行了詳細(xì)的闡述，并對(duì)其優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了客觀的對(duì)比。
論文關(guān)鍵詞：非線性,最優(yōu)控制
近年來(lái)，最優(yōu)控制理論[1,2]的研究，無(wú)論在深度和廣度上，都有了很大的發(fā)展，已成為系統(tǒng)與控制領(lǐng)域最熱門的研究課題之一，取得了許多研究成果。同時(shí)，也在與其他控制理論相互滲透，出現(xiàn)了許多新的最優(yōu)控制方式，形成了更為實(shí)用的學(xué)科分支。例如魯棒最優(yōu)控制[3]、隨機(jī)最優(yōu)控制[4]、分布參數(shù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制[5]、大系統(tǒng)的次優(yōu)控制[6]、離散系統(tǒng)的最優(yōu)控制及最優(yōu)滑模變結(jié)構(gòu)控制[7,8]等。而對(duì)于非線性系統(tǒng)，其最優(yōu)控制求解相當(dāng)困難，需要求解非線性HJB方程或非線性兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，除簡(jiǎn)單情況外[9]，這兩個(gè)問(wèn)題都無(wú)法得到解析解。因此，許多學(xué)者都致力于尋求近似的求解方法[10~13]，通過(guò)近似解得到近似的最優(yōu)控，即次優(yōu)控制。
1、非線性最優(yōu)控制理論研究成果分類
目前，較為流行的近似最優(yōu)控制求解方法主要有以下幾類[6][13]。
1）冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法：冪級(jí)數(shù)展開(kāi)方法通過(guò)一個(gè)冪級(jí)數(shù)來(lái)構(gòu)造控制律，得到序列形式的近似最優(yōu)解，或者將系統(tǒng)中的非線性項(xiàng)以冪級(jí)數(shù)形式分解，或者通過(guò)引進(jìn)一個(gè)臨時(shí)變量并圍繞它展開(kāi)。
將上式代入HJB方程求得級(jí)數(shù)近似解，也可利用Adomian分解將非線性項(xiàng)進(jìn)行分解，由此尋求非線性HJB方程級(jí)數(shù)的近似解。
2）Galerkin逐次逼近方法：由動(dòng)態(tài)規(guī)劃得到的一般性偏微分HJB方程，引入一個(gè)迭代過(guò)程來(lái)求解一般非線性HJB方程的一個(gè)近似解序列。
3）廣義正交多項(xiàng)式級(jí)數(shù)展開(kāi)法：其主要思想是將最優(yōu)控制問(wèn)題中的狀態(tài)變量，控制輸入，性能指標(biāo)和各個(gè)參數(shù)分別用廣義正交多項(xiàng)式展開(kāi)，利用廣義正交多項(xiàng)式的積分、乘積運(yùn)算陣
將描述系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)化為一系列的代數(shù)方程
。然后，得到
，T非奇異時(shí)由
得到的控制律是一個(gè)多項(xiàng)式級(jí)數(shù)解
。該方法將最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)極值問(wèn)題，從而避免了求解時(shí)變非線性Riccati方程。
4）有限差分和有限元方法：經(jīng)典的有限差分和有限元方法可以用來(lái)近似求解非線性HJB方程。近年來(lái)，這類方法用來(lái)近似求取非線性HJB方程的粘性解。
5）狀態(tài)相關(guān)Riccati方程方法：這種方法適用的模型是仿射非線性系統(tǒng)，通過(guò)極大值原理假設(shè)最優(yōu)控制律具有如下形式
其中
為下式所述里卡提方程的解
這樣，問(wèn)題的關(guān)鍵歸結(jié)于近似求解
。狀態(tài)相關(guān)里卡提方程方法通過(guò)在中引入靈敏度參數(shù)變量ε，在
鄰域內(nèi)將展為冪級(jí)數(shù)
通過(guò)比較冪級(jí)數(shù)同次項(xiàng)系數(shù)將狀態(tài)相關(guān)里卡提方程分解為一組矩陣微分方程序列，由此求得其近似解。狀態(tài)相關(guān)里卡提方程方法所設(shè)計(jì)的近似最優(yōu)控制律是一種級(jí)數(shù)形式的狀態(tài)反饋控制律。
6）Riccati方程近似序列法：該方法對(duì)非線性系統(tǒng)構(gòu)造線性時(shí)變序列以及相應(yīng)的線性二次型時(shí)變性能指標(biāo)，得到線性時(shí)變序列的最優(yōu)反饋控制序列
其中
是里卡提方程近似序列的解。
此方法計(jì)算量較大，但是當(dāng)系統(tǒng)的維數(shù)不是很大時(shí)，較里卡提方程近似序列方法具有很快的收斂速度，并表現(xiàn)出很好的魯棒性。
7）逐次逼近法：該方法是針對(duì)非線性的一次項(xiàng)和高次項(xiàng)可分離的一類非線性系統(tǒng)進(jìn)行近似最優(yōu)控制問(wèn)題的求解，給出了一種逐次逼近的近似求解方法。該方法針對(duì)由極大值原理導(dǎo)致的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，構(gòu)造近似的等價(jià)序列將其轉(zhuǎn)化為一組線性非齊次兩點(diǎn)邊值問(wèn)題序列，通過(guò)迭代求解一系列的向量微分方程，包括狀態(tài)向量方程序列和共態(tài)向量方程序列，得到原非線性系統(tǒng)近似最優(yōu)控制問(wèn)題的解。該方法被廣泛應(yīng)用到各類非線性系統(tǒng)，其最大優(yōu)點(diǎn)是在迭代過(guò)程中每次計(jì)算的不是矩陣微分或代數(shù)方程，而是向量微分或代數(shù)方程，計(jì)算量大大減少，而且實(shí)時(shí)性很高。
2、非線性最優(yōu)控制理論研究成果對(duì)比
比較以上方法，各有優(yōu)缺點(diǎn)。其中，冪級(jí)數(shù)展開(kāi)方法要求系統(tǒng)關(guān)于狀態(tài)向量x解析，才能夠進(jìn)行展開(kāi)，這在實(shí)際工程應(yīng)用中是不現(xiàn)實(shí)的。Galerkin逐次逼近法的收斂性過(guò)于依賴系統(tǒng)的初值，收斂性在很多情況下是無(wú)法保證的。廣義正交多項(xiàng)式級(jí)數(shù)展開(kāi)法和有限差分、有限元方法都是采用不同的數(shù)學(xué)工具來(lái)解決近似求解非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題，但這兩種方法的計(jì)算收斂性不好，所需的巨大計(jì)算量也使得它們離工程實(shí)際應(yīng)用有很大一段距離。狀態(tài)相關(guān)里卡提方程適用于一類仿射非線性系統(tǒng)。里卡提方程近似序列方法同樣適用于一類仿射非線性系統(tǒng)，當(dāng)處理高維系統(tǒng)時(shí)，其計(jì)算量將很大。而逐次逼近法，從計(jì)算復(fù)雜度看，是對(duì)向量迭代，得到的最優(yōu)控制律是由精確的線性反饋?lái)?xiàng)和非線性補(bǔ)償項(xiàng)組成，將最優(yōu)控制的求解轉(zhuǎn)化為非線性補(bǔ)償向量序列的求極限過(guò)程，大大減少了計(jì)算量，容易被實(shí)際工程所應(yīng)用。簡(jiǎn)言之，逐次逼近法通過(guò)較為簡(jiǎn)單的計(jì)算設(shè)計(jì)得到系統(tǒng)的近似最優(yōu)控制律，具有計(jì)算量少，易于工程實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，有很好的工程應(yīng)用前景。然而，逐次逼近法的缺點(diǎn)在于其對(duì)外部擾動(dòng)和系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)以及未建模動(dòng)態(tài)敏感，因此提高最優(yōu)控制的魯棒性是非常必要的。
3、結(jié)束語(yǔ)
對(duì)于非線性系統(tǒng)，其最優(yōu)控制的解一般是不存在的。再加上非線性系統(tǒng)的復(fù)雜性和多樣性，這方面的研究成果還很少，尚待解決的問(wèn)題還很多，，本文對(duì)非線性最優(yōu)控制理論現(xiàn)有研究成果對(duì)比進(jìn)行了詳細(xì)的闡述，并對(duì)其優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了客觀的對(duì)比，為非線性最優(yōu)控制理論的進(jìn)一步研究提
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