關(guān)于混沌同步非線性觀測器設(shè)計(jì)及其在信號(hào)加密中應(yīng)用的研究
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作者：鄭曉敏
自從PECORA和CARROL于20世紀(jì)90年代初首先提出用PC方法實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步后，混沌同步已經(jīng)引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注，并隨之出現(xiàn)了多種同步方法。
近年來，混沌同步已廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域，如保密通信、化學(xué)化工、航空航天等，其中在混沌通信中，混沌系統(tǒng)的參數(shù)被調(diào)制成信息的攜帶者，它能在接收端通過混沌同步被解碼。利用混沌信號(hào)的復(fù)雜性和連續(xù)寬頻帶，將有用信號(hào)隱藏在其中，從而達(dá)到保密通信的目的。具體實(shí)現(xiàn)混沌保密通信，接收端和發(fā)送端混沌同步是前提。在各種同步方法中，觀測器方法是一種較為理想的同步方法，它易于工程實(shí)現(xiàn)，且不需要計(jì)算Lyapunov指數(shù)。其中，文獻(xiàn)[12]將狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)與相空間重構(gòu)起來，用任意標(biāo)量信號(hào)同步一類混沌系統(tǒng)，但其所設(shè)計(jì)的控制器較復(fù)雜；文獻(xiàn)[13 - 14]基于狀態(tài)觀測器方法實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的同步，其設(shè)計(jì)過程中需知道系統(tǒng)的精確模型；文獻(xiàn)[15]通過設(shè)計(jì)一個(gè)非線性狀態(tài)觀測器的方法來實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步，但存在兩個(gè)缺點(diǎn)：1）要求系統(tǒng)所有狀態(tài)變量均有界，而在系統(tǒng)未實(shí)現(xiàn)同步前假設(shè)觀測器狀態(tài)是有界的缺乏理論依據(jù)；2）所給的控制律，雖然能實(shí)現(xiàn)同步，但是當(dāng)所需控制能量很大時(shí)，很難正確估計(jì)控制增益的大小�；谏鲜鲇懻�，本文在文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，利用線性矩陣不等式( LMI)方法給出了混沌系統(tǒng)同步的充分條件和控制器設(shè)計(jì)方法，所得到的控制器結(jié)構(gòu)簡單且易于實(shí)現(xiàn)，克服了文獻(xiàn)[12 - 15]中方法的不足，最后利用所設(shè)計(jì)的觀測器，給出了一個(gè)保密通信方案，并通過對(duì)蔡氏電路數(shù)值模擬驗(yàn)證了所提方法的有效性。
1 問題的描述
考慮如下一類混沌系統(tǒng)
2 狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)和混沌同步的實(shí)現(xiàn)
針對(duì)g結(jié)構(gòu)已知和g結(jié)構(gòu)未知兩種情況分別沒計(jì)狀態(tài)觀測器。
2.1 g結(jié)構(gòu)已知
定理1對(duì)于g結(jié)構(gòu)已知的情況，若存在正定陣P>O和矩陣W使得下面線性矩陣不等式成立
則通過設(shè)計(jì)觀測器( I)（其中取L=P-W），可實(shí)現(xiàn)與式(1)混沌系統(tǒng)同步，即lime(t)=0。
證明取Lyapunov函數(shù)V=e‘Pe，P>O，對(duì)V關(guān)于誤差e求導(dǎo)得
顯然，如果下式成立，則lime(t)=0。
應(yīng)用矩陣的舒爾補(bǔ)性質(zhì)（引理2），式(6)等價(jià)于矩陣不等式
式(7)（關(guān)于P，L）不是線性的，為便于用Matlah中的LMI工具箱求解，記W=PL，將式(7)轉(zhuǎn)化成（關(guān)于P，W的）線性矩陣不等式
若線性矩陣不等式(8)有可行解：P >0，W=PL，則觀測器增益可取為L=P-1W。
2.2 g結(jié)構(gòu)未知
第二種情況，若g結(jié)構(gòu)未知，觀測器(I)將無法實(shí)現(xiàn)，為此設(shè)計(jì)觀測器(Ⅱ)，即
式中：B為適當(dāng)維數(shù)的矩陣；u為要設(shè)計(jì)的控制器。
觀測誤差方程為
對(duì)式(13)最后一項(xiàng)應(yīng)用引理1，得
由假設(shè)2得
式中：s(t)為被加密的信號(hào)；M(t)=甌(￡)+s(￡)為發(fā)送端的輸出信號(hào)。
若g結(jié)構(gòu)未知，接收端采用定理2的狀態(tài)觀測器
若g結(jié)構(gòu)已知，接收端采用定理1中的狀態(tài)觀測器
接收端按下式解密
4仿真例子
本節(jié)中，將給出兩個(gè)例子，以驗(yàn)證混沌同步及其在保密通信中的應(yīng)用。
例1 考慮蔡氏電路'13：同步問題。系統(tǒng)為
由式(21)、式(22)可得誤差方程為
圖1~圖3是同步誤差變化圖，從圖像可看出，當(dāng)t>1s時(shí)，誤差都接近零。從而說明所設(shè)計(jì)的觀測器的確實(shí)現(xiàn)了與蔡氏系統(tǒng)的混沌同步。
接下來，給出混沌同步在保密通信中的應(yīng)用的仿真例子。
例2在發(fā)送端取蔡氏混沌系統(tǒng)（其中的f，L和其他參數(shù)同例1）。
5 結(jié)論
基于線性矩陣不等式( LMI)技術(shù)給出了混沌同步的充分條件和混沌同步觀測器設(shè)計(jì)方法，同時(shí)給出觀測器參數(shù)計(jì)算方法，并且將該同步方法應(yīng)用到保密通信中，仿真例子驗(yàn)證了方法的有效性和可行性。
6摘要：針對(duì)一類狀態(tài)不能全部測量且含有不確定因素的混沌系統(tǒng)的同步問題，基于LMI方法設(shè)計(jì)了一個(gè)非線性觀測器；觀測器增益和混沌系統(tǒng)同步控制器的實(shí)際設(shè)計(jì)可以通過求解一個(gè)線性矩陣不等式獲得；另外利用設(shè)計(jì)的觀測器，給出了一個(gè)保密通信方案。最后通過對(duì)蔡氏電路數(shù)值模擬驗(yàn)證了所提方法的有效性。
