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作者：張毅

  對于剛性機(jī)械臂來說，它產(chǎn)生的振動(dòng)很�。�可以忽略不計(jì)），因此我們只要通過對驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制就可以很方便地精確定位。但柔性機(jī)械臂與剛性機(jī)械臂不同，它由于臂桿和關(guān)節(jié)柔性特性的影響，在進(jìn)行剛性運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)不可避免地伴隨著自身的振動(dòng)，從而導(dǎo)致很難完成準(zhǔn)確的定位，嚴(yán)重影響了柔性機(jī)械臂的設(shè)計(jì)和使用，大大加大了柔性機(jī)械臂建模和控制的難度。因此，需要對柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型展開更深入的研究，希望可以從動(dòng)力學(xué)層面考慮以避免或者減少由于其自身的振動(dòng)帶來的一系列問題。

  在柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域已經(jīng)有了一些研究成果，1990年P(guān)ark和Imam應(yīng)用有限元法對柔性系統(tǒng)進(jìn)行研究，后來Turic和Midha對有限元法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了柔性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析的廣義運(yùn)動(dòng)方程。1996年Bellzee提出了柔性旋轉(zhuǎn)梁分別在固定和鉸支的邊界條件下的數(shù)學(xué)模型。1999年，Tokhi等人提出了非最小相系統(tǒng)，建立了數(shù)學(xué)模型，指出柔性機(jī)械臂系統(tǒng)在S平面右半平面上存在多個(gè)零點(diǎn)。本文通過有限元法(FEM)和Lagrange方程相結(jié)合的方法建立了柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型，然后通過MATLAB對

數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行處理，描述柔性機(jī)械臂單臂系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

1  建模方法

因?yàn)槿嵝詸C(jī)械臂臂桿的截面相對于其長度來說很小，因此，我們將柔性桿看做梁結(jié)構(gòu)，忽略軸向變形和剪切變形的影響，僅考慮彎曲變形。那么一個(gè)柔性機(jī)械臂系統(tǒng)就是具有無限個(gè)自由度的連續(xù)組合，如果再加上柔性關(guān)節(jié)和柔性臂桿變形的耦合，整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)控制方程就是多個(gè)高度非線性的偏微分方程，這些問題顯然都不易求解且容易出錯(cuò)。所以我們將整個(gè)無限個(gè)自由度的系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成有限個(gè)自由度系統(tǒng)，這就是我們常說的有限元法( FEM)。如果將柔性機(jī)械臂臂桿看做梁結(jié)構(gòu)，那么柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題就可以轉(zhuǎn)換成梁結(jié)構(gòu)的撓度和剛性運(yùn)動(dòng)的組合問題。梁的撓度是由多個(gè)形函數(shù)組成的廣義坐標(biāo)的組合，它的動(dòng)力學(xué)方程可以通過計(jì)算廣義質(zhì)量、廣義剛度、廣義力和廣義力矩來求得。形函數(shù)與有限單元法相關(guān)，單元形狀越復(fù)雜，階次越高。有限元法( FEM)的實(shí)質(zhì)是把無限多個(gè)自由度的連續(xù)體離散為有限個(gè)自由度的單元體，這樣我們可以用數(shù)值方法進(jìn)行數(shù)值求解，采用彈性單元、剛性節(jié)點(diǎn)、載荷節(jié)點(diǎn)來描述系統(tǒng)模型的質(zhì)量、剛度、摩擦、載荷等非線性參數(shù)，如此就需要比較多的自由度來描述整個(gè)系統(tǒng)，這樣求解運(yùn)算量比較大，因此我們在這里借助計(jì)算機(jī)軟件MATLAB，將系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和載荷矩陣的符號(hào)或者數(shù)值形式用程序編制一個(gè)新函數(shù)，從而推導(dǎo)出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。為了建立柔性機(jī)械臂系統(tǒng)模型，在MATLAB函數(shù)中要用到兩種不同的梁模型：固定一自由梁模型和簡支一自由梁模型，如圖1所示，兩者有不同的邊界條件，所得形函數(shù)也不同。其中，口，為梁中心的傾角，v2為梁末端的撓度，02為梁末端的傾角，F(xiàn)2為梁末端所受力，M2為梁末端所受彎矩。

  如果我們將簡支自由梁模型當(dāng)做有限單元，那么就會(huì)有3個(gè)相互獨(dú)立的廣義坐標(biāo)：梁中心的傾角島、梁末端的撓度V2和梁末端的傾角02，那么在某一位置x（x為梁簡支端到所求點(diǎn)的距離）時(shí)，梁的撓度與時(shí)間t的關(guān)系為：

其中：磊、<：和蛾為形函數(shù)。0、02和V2是關(guān)于時(shí)間f的函數(shù)，西，、西。和或是關(guān)于位置z的函數(shù)。

對于固定一自由梁模型來說，只有兩個(gè)相互獨(dú)立的廣義坐標(biāo)：梁末端的撓度V2和末端的傾角口。。那么在某一位置z梁的撓度和時(shí)間t的關(guān)系為：

在這些函數(shù)中，我們可以知道廣義質(zhì)量Mr、廣義剛度系數(shù)Kr和上廣義力r，結(jié)合Lagrange方程得到柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程為：

其中：，N為柔性關(guān)節(jié)的減速比；B，、為廣義抗彎強(qiáng)度系數(shù)；Q為非保守主動(dòng)力系所對應(yīng)的廣義力。式(3)這個(gè)方程的形式取決于邊界條件的類型。

2數(shù)據(jù)處理

  為了研究系統(tǒng)的參數(shù)和非最小相位性質(zhì)之間的關(guān)系，首先我們應(yīng)該求得有限元模型系統(tǒng)中各單元之間的傳遞函數(shù)，此外，我們還要考慮到系統(tǒng)的載荷、摩擦力等非線性參數(shù)對動(dòng)力學(xué)方程和傳遞函數(shù)的影響。

如上所述，用有限元方法解決柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，會(huì)產(chǎn)生n個(gè)元素的質(zhì)量矩陣，可以將式(3)寫成狀態(tài)空間形式：

x為狀態(tài)矢量，y為輸出變量，u為輸入變量，A為狀態(tài)矩陣，B為輸入矩陣，C為輸出矩陣，解這個(gè)狀態(tài)空間表達(dá)式(4)可以得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，當(dāng)然這些狀態(tài)空間方程也取決于邊界條件的類型（懸臂還是簡支）和是否考慮載荷或阻尼的影響。所以在MATLAB程序中，我們需要建立一些新的函數(shù)來生成柔性機(jī)械臂的單臂桿運(yùn)動(dòng)方程和狀態(tài)空間表達(dá)式，如表1所示。

3模型分析

  為了研究柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的非最小相位性質(zhì)，我們需要求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，這一過程與傳遞函數(shù)的計(jì)算和系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)的位置有關(guān)，如果系統(tǒng)函數(shù)在S平面的右半邊平面(RHP)上具有一個(gè)或多個(gè)零點(diǎn)，那么這個(gè)系統(tǒng)就是非最小相位系統(tǒng)。

根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的狀態(tài)空間符號(hào)形式(式(4))，我們可以得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

其中：s為拉普拉斯變量算子。將矩陣A、B和C代入式(5)，用有限元仿真簡化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。通過MATI。AB函數(shù)  mass、stiffness、mode-shape來建立柔性機(jī)械臂單臂桿的動(dòng)力學(xué)模型，這個(gè)運(yùn)算過程如下：

通過MATLAB軟件得到的柔性機(jī)械臂在固定一負(fù)載邊界條件下的動(dòng)力學(xué)模型符號(hào)形式如下：

通過MATLAB軟件從系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的矩陣形式得到的狀態(tài)空間形式如下：

在MATLAB軟件中得到的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的狀態(tài)空間形式如下：

我們可以通過式(5)和A、B、C三個(gè)矩陣結(jié)合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的狀態(tài)空間形式來推導(dǎo)出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，由于整個(gè)系統(tǒng)是一個(gè)SIMO（單輸入多輸出）系統(tǒng)，多個(gè)輸出變量導(dǎo)致該傳遞函數(shù)比較復(fù)雜。式(6)是一個(gè)輸入為彎矩、輸出為末端傾角的傳遞函數(shù)：

其中：L為柔性桿長度；優(yōu)為柔性桿質(zhì)量；E為彈性模量；I為截面慣性矩；mP為載荷的質(zhì)量，即能承載最大負(fù)荷的質(zhì)量，決定了柔性桿的振動(dòng)頻率。

式(6)這個(gè)傳遞函數(shù)是為了研究柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的非最小相位特性。我們需要先研究系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子和分母還有系統(tǒng)極點(diǎn)和零點(diǎn)的位置。如果該系統(tǒng)在S平面右半邊平面(RHP)上存在不止一個(gè)零點(diǎn)，那么它就是一個(gè)非最小相系統(tǒng)。系統(tǒng)中兩種不同變量的極點(diǎn)和零點(diǎn)布局圖如圖2所示，系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)的位置會(huì)隨著系統(tǒng)變量的改變而改變，這些系統(tǒng)變量包括單位長度質(zhì)量、臂桿的長度和橫截面載荷。

4結(jié)語

本文針對柔性機(jī)械臂系統(tǒng)，研究了柔性機(jī)械臂的自振動(dòng)特性，給出了系統(tǒng)的不同形式的動(dòng)力學(xué)模型，通過MATLAB對模型的分析，得到了系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，從而驗(yàn)證了系統(tǒng)的非最小相位特性，為之后機(jī)械臂的在軌抓捕操作和控制理論研究提供了理論模型。

5摘要：針對柔性機(jī)械臂系統(tǒng)，通過有限元法(FEM)和Lagrange方程相結(jié)合的方法建立柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型，然后通過數(shù)學(xué)軟件MATLAB對數(shù)學(xué)符號(hào)的處理，描述了柔性機(jī)械臂單臂系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，考慮了載荷和摩擦等非線性因素的影響，為柔性機(jī)械臂的機(jī)械設(shè)計(jì)、控制設(shè)計(jì)等方面奠定了理論基礎(chǔ)。